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Introduction

Il s'agit dans cette ressource d'utiliser les déterminants pour étudier la dépendance linéaire d'une famille de vecteurs, pour déterminer le rang d'une matrice ou d'une famille de vecteurs, pour décider si une matrice est inversible ou non, pour calculer éventuellement sa matrice inverse, pour caractériser les systèmes linéaires de n équations à n inconnues ayant une solution unique (systèmes de Cramer), et calculer cette solution.

Cette ressource est composée de deux tests ; les exercices proposés sont plutôt calculatoires dans les test 1, et plutôt théoriques dans le test 2.

Prérequis indispensables :

  • Connaître les méthodes de calcul d'un déterminant ainsi que les propriétés des déterminants.

  • Connaître les notions de dépendance / indépendance linéaire d'une famille de vecteurs, et de rang d'une famille de vecteurs.

  • Connaître la définition et les propriétés de la matrice des cofacteurs associée à une matrice carrée.

  • Connaître les notions de matrice carrée inversible et de rang d'une matrice.

  • Connaître la définition d'un système de Cramer, ainsi que les formules donnant la solution d'un tel système.

  • Pour le test 2, de bonnes connaissances sur les propriétés des applications linéaires et sur le lien matrices - applications linéaires sont nécessaires.

Objectifs :

  • Utiliser les déterminants pour :

    • Tester si une famille de vecteurs est libre ou liée et déterminer son rang.

    • Tester si une matrice carrée est inversible et éventuellement calculer son inverse.

    • Calculer le rang d'une matrice.

    • Reconnaître un système de Cramer et calculer sa solution.

Temps de travail prévu : 75 minutes

TEST 1 : exercices plutôt calculatoires

Nombre de questions du test : 3

Contenu du test :

  • Utilisation des formules de Cramer pour la résolution d'un système linéaire avec paramètre (10 min.)

  • Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice (10 min.)

  • Rang d'un système de vecteurs, rang d'une matrice (5 min.)

Temps indicatif total : 25 minutes

Il s'agit du temps indicatif pour la résolution des exercices, mais pas pour la correction et l'auto-évaluation qui s'en suivent.

TEST 2 : exercices plutôt théoriques

Nombre de questions du test :3

Contenu du test :

  • Inversibilité du produit de deux matrices carrées (5 min.)

  • Déterminant d'une matrice (15 min.)

  • Dépendance linéaire d'une famille de vecteurs (10 min.)

Temps indicatif total : 30 minutes

Il s'agit du temps indicatif pour la résolution des exercices, mais pas pour la correction et l'auto-évaluation qui s'en suivent.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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