Equation cartésienne d'un plan défini par trois points
Partie
Question
On se place dans le plan \(\epsilon_3\) muni d'un repère \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
Vérifier que les trois points \(A\), \(B\), \(C\), de coordonnées respectives \((2,0,1)\), \((3,1,1)\), \((1,-2,0)\), ne sont pas alignés.
Trouver une équation cartésienne du plan \(Q\) passant par les trois points \(A\), \(B\), \(C\).
Aide simple
Les point \(A\) et \(B\) ayant pour coordonnées respectives \((x_A,y_A,z_A)\) et \((x_B,y_B,z_B)\), le triplet des coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \((x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\).
Aide méthodologique
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont linéairement dépendants (colinéaires).
Le plan passant par les trois points \(A\), \(B\), \(C\) est le plan passant par \(A\) et de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ; on peut donc utiliser la même méthode que dans l'exercice précédent, c'est-à-dire :
Un point \(M\) appartient au plan \(Q\) passant par le point \(A\) et de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) si et seulement si la famille \(\{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}\)est liée, donc si et seulement si le déterminant de ces trois vecteurs est nul.
Aide à la lecture
On se place ici dans l'espace de la géométrie usuelle, il est muni d'un repère \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et un triplet \((x,y,z)\) représente les coordonnées d'un point \(M\) ou d'un vecteur \(\vec{w}\) dont un représentant est \(\overrightarrow{OM}\).
Solution détaillée
On vérifie que les trois points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés en montrant que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont linéairement indépendants.
Les coordonnées respectives de ces deux vecteurs sont :
\((3-2,1-0,1-1)=(1,1,0)\)
\((1-2,-2-0,0-1)=(-1,-2,-1)\)
On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul de la matrice de leurs coordonnées
\(\left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&-2\\0&-1\end{array}\right)\)
Par exemple \(\left|\begin{array}{cc}1&-2\\0&-1\end{array}\right|=-1\).
Ils sont donc linéairement indépendants.
Un point \(M\) de coordonnées \((x,y,z)\) appartient au plan \(Q\) passant par les trois points \(A\), \(B\), \(C\) si et seulement si les trois vecteurs \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) forment une famille liée. On peut donc exprimer cette condition en écrivant que le déterminant de ces trois vecteurs est nul.
On obtient :
\(\left|\begin{array}{ccc}x-2&1&-1\\y&1&-2\\z-1&0&-1\end{array}\right|=0\)
D'où, en développant suivant la première colonne :
\(-(x-2)+y-(z-1)=0\)
Un équation cartésienne du plan \(Q\) est donc :
\(x-y+z-3=0\)