Condition nécessaire et suffisante pour que trois points du plan soient alignés
Partie
Question
On se place dans le plan \(\epsilon_2\) muni d'un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\).
Montrer que trois points \(A_1,A_2,A_3\) de coordonnées respectives \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\) sont alignés si et seulement si :
\(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|=0\)
Aide méthodologique
On peut procéder par équivalences en partant du déterminant \(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|\)dans lequel on peut faire apparaître un mineur d'ordre 2 égal au déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{A_1A_2}\) et \(\overrightarrow{A_1A_3}\).
Aide à la lecture
Les trois points \(A_1,A_2,A_3\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{A_1A_2}\) et \(\overrightarrow{A_1A_3}\) sont colinéaires.
Solution détaillée
Les trois points \(A_1,A_2,A_3\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{A_1A_2}\) et \(\overrightarrow{A_1A_3}\) sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{A_1A_2}\), \(\overrightarrow{A_1A_3}\), est nul.
\(\det(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})=\left|\begin{array}{cc}x_2-x-1&x_3-x_1\\y_2-y_1&y_3-y_1\end{array}\right|\)
Dans le déterminant \(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|\)on soustrait la première colonne des deuxième et troisième colonnes (\(C_2\leftarrow C_2-C_1\) et \(C_3\leftarrow C_3-C_1\)).
\(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\\y_1&y_2-y_1&y_3-y_1\\1&0&0\end{array}\right|\)
En développant suivant la troisième ligne, on obtient :
\(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x_2-x-1&x_3-x_1\\y_2-y_1&y_3-y_1\end{array}\right|\)
On obtient donc les équivalences :
\(\left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{array}\right|=0\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cc}x_2-x-1&x_3-x_1\\y_2-y_1&y_3-y_1\end{array}\right|=0\Leftrightarrow \det(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3})=0\Leftrightarrow A_1,A_2,A_3 \textrm{alignés}\)