Mathématiques
Précédent
Suivant
TEST 1 : exercices plutôt calculatoires
Le test comporte 3 questions :
Utilisation des formules de Cramer pour la résolution d'un système linéaire avec paramètre
Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice
Rang d'un système de vecteurs, rang d'une matrice
La durée indicative du test est de 25 minutes.
Commencer
Utilisation des formules de Cramer pour la résolution d'un système linéaire avec paramètre

On considère le système suivant dépendant du paramètre réel :

  1. Pour quelles valeurs de ce système admet-il une solution unique ?

  2. Déterminer cette solution pour les valeurs de trouvées.

Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice

Indiquer pour les matrices suivantes si elles sont inversibles et si oui, calculer leur inverse en utilisant la matrice des cofacteurs. On discutera éventuellement suivant les valeurs du paramètre.

Rang d'un système de vecteurs, rang d'une matrice

On considère les quatre vecteurs de :

, , ,

Pour quelles valeurs de et le rang de la famille de vecteurs est-il minimal ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Utilisation des formules de Cramer pour la résolution d'un système linéaire avec paramètre
  1. Ce système a trois équations et trois inconnues, il admet une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul ; on dit dans ce cas que c'est un système de Cramer. Calculons ce déterminant :

    La première colonne fait apparaître une première factorisation par :

    En ajoutant la deuxième colonne à la troisième (ou la deuxième ligne à la troisième), on peut faire apparaître une seconde factorisation par :

    On retranche la troisième ligne de la deuxième, puis on développe le déterminant suivant la troisième colonne :

    Le système admet donc une solution unique si et seulement si .

  2. Soit , calculons le triplet solution en utilisant les formules de Cramer.

    On retranche la deuxième colonne de la première puis on ajoute la deuxième colonne à la troisième, et on obtient :

    D'où, après simplification par :

    On calcule de même y puis z.

    Pour , le triplet solution unique du système est :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice
  1. Vérifions si la matrice est inversible :

    Le déterminant de est non nul, la matrice est donc inversible.

    La comatrice (matrice des cofacteurs) de est :

    Cette matrice étant symétrique elle est égale à sa transposée :

    D'où l'inverse de :

  2. Calculons le déterminant de :

    (en retranchant la colonne 3 des deux précédentes)

    La matrice est donc inversible si et seulement si .

    La comatrice de est :

    Sa transposée est :

    D'où l'inverse de la matrice , lorsque

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rang d'un système de vecteurs, rang d'une matrice

La matrice des coordonnées des vecteurs relativement à la base canonique de est :

La rang de la famille de vecteurs est le même que le rang de la matrice .

Il est évident que ce rang est au minimum égal à 2, car on peut extraire de un mineur d'ordre 2 non nul : par exemple.

Pour que le rang soit exactement égal à 2, il est nécessaire que tous les mineurs d'ordre 3 soient nuls. Donc, en particulier, les déterminants :

et doivent être nuls.

,

Il est donc nécessaire que et .

Vérifions que ces valeurs conviennent :

pour et , on a et .

Le rang de la famille est donc exactement égal à 2.

0
1
2
3
4
5
Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/25
Seuil critique :17
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :25 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)