Inversibilité et calcul de l'inverse d'une matrice
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Indiquer pour les matrices suivantes si elles sont inversibles et si oui, calculer leur inverse en utilisant la matrice des cofacteurs. On discutera éventuellement suivant les valeurs du paramètre.
\(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{array}\right)\)
\(M_k=\left(\begin{array}{ccc}k&3&1\\4&2&1\\1&1&1\end{array}\right) k\in R\)
Solution
Vérifions si la matrice \(A\) est inversible :
\(\det A=\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{array}\right|=-2\)
Le déterminant de \(A\) est non nul, la matrice est donc inversible.
La comatrice (matrice des cofacteurs) de \(A\) est :
\(\textrm{com}A=\left(\begin{array}{ccc}-1&1&-1\\1&-1&-1\\-1&-1&1\end{array}\right)\)
Cette matrice étant symétrique elle est égale à sa transposée :
\(^t\textrm{com}A=\left(\begin{array}{ccc}-1&1&-1\\1&-1&-1\\-1&-1&1\end{array}\right)\)
D'où l'inverse de \(A\) :
\(A^{-1}=\frac{1}{\det A}^t(\textrm{com}A)=\left(\begin{array}{ccc}\frac12&-\frac12&\frac12\\-\frac12&\frac12&\frac12\\\frac12&\frac12&-\frac12\end{array}\right)\)
Calculons le déterminant de \(M_k\):
\(\det M_k=\left|\begin{array}{ccc}k&3&1\\4&2&1\\1&1&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}k-1&2&1\\3&1&1\\0&0&1\end{array}\right|=k-7\)
(en retranchant la colonne 3 des deux précédentes)
La matrice \(M_k\) est donc inversible si et seulement si \(k\neq 7\).
La comatrice de \(M_k\) est :
\(\textrm{com}M_k=\left(\begin{array}{ccc}1&-3&2\\-2&k-1&-k+3\\1&-k+4&2k-12\end{array}\right)\)
Sa transposée est :
\(^t\textrm{com}M_k=\left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\\-3&k-1&-k+4\\2&-k+3&2k-12\end{array}\right)\)
D'où l'inverse de la matrice \(M_k\), lorsque \(k\neq 7\)
\((M_k)^{-1}=\frac{1}{\det(M_k)}^t(\textrm{com}M_k)=\frac{1}{k-7}\left(\begin{array}{ccc}1&-2&1\\-3&k-1&-k+4\\2&-k+3&2k-12\end{array}\right)\)