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Définition

Ce paragraphe suppose connue la notion de matrice de passage entre deux bases et son interprétation comme matrice associée à l'application identique par rapport à des bases bien choisies.

Matrice de changement de base

Soit un espace vectoriel réel de dimension . Soient et deux bases de .

Comme est une base de , ses vecteurs sont linéairement indépendants et est non nul. De plus, l'espace vectoriel considéré étant réel, est un nombre réel, non nul, et il a un signe.

Ces remarques permettent de définir une relation binaire sur les bases de .

Définition

Si et sont deux bases de , on dit que a même sens que si :

Remarque

Il est immédiat, compte tenu de cette définition et des propriétés qui suivent, que tout les résultats qui vont être obtenus ne sont valables que pour un espace vectoriel réel puisque ils font intervenir avec force la relation d'ordre sur et le fait que est un corps totalement ordonné

Pour faciliter ici l'expression, on utilise la notation en notant .

Propriété : de cette relation
  • elle est réflexive c'est-à-dire que pour toute base de , a même sens que , soit :

    Cela est immédiat puisque .

  • elle est symétrique c'est-à-dire que pour toutes bases et de , si a même sens que , alors a même sens que , soit :

    Pour le démontrer, on va faire intervenir la matrice de passage de la base à la base . C'est la matrice, notée , dont la -ième colonne est formée des coordonnées du -ième vecteur de la base , par rapport à la base .

    Cela permet d'interpréter le déterminant de la base par rapport à la base comme le déterminant de la matrice de passage de à .

    De plus on sait que . Donc le déterminant de la base par rapport à la base est le déterminant de la matrice de passage de à d'où les relations :

    et

    L'égalité implique alors : et donc .

    Ces déterminants sont donc de même signe, ce qui achève la démonstration.

  • elle est transitive c'est-à-dire que si , et sont trois bases de , si a même sens que et même sens que , alors a même sens que , soit :

    et

    C'est encore une propriété des matrices de passage d'une base à une autre qui va servir, plus précisément la formule , et sont trois bases de .

    Il résulte en effet de cette relation et des propriétés des déterminants, que et donc .

    Donc si les deux réels du second membre de cette égalité sont positifs, celui du membre de gauche l'est aussi, ce qui achève la démonstration.

Définition : (pour les étudiants qui ne connaîtraient pas déjà cette notion)

Une relation binaire vérifiant ces trois propriétés réflexivité, symétrie et transitivité est appelée relation d'équivalence.

Théorème : Définition

Soit un espace vectoriel réel de type fini.

La relation binaire définie sur l'ensemble des bases de par :

et étant des bases de E,

est une relation d'équivalence.

Si on dit aussi que et ont même orientation.

La question qui se pose alors est la suivante : une base étant choisie sur , combien y a-t-il d'orientation possible sur ?

Comme est totalement ordonné, si est une base quelconque de , il n'y a que deux possibilités pour le réel :

  • ou bien il est strictement positif ( et ont même orientation),

  • ou bien il est strictement négatif (on dit que a une orientation opposée à celle de ).

En effet il ne peut être nul puisque étant une base de , ses vecteurs sont linéairement indépendants et par conséquent leur déterminant par rapport à une base est non nul (propriété des déterminants).

On peut donc ranger les bases de en deux classes (pour ceux qui connaissent ce vocabulaire, ce sont les classes d'équivalence de la relation ).

  • La classe des bases qui ont même orientation que (par exemple la base elle-même).

  • La classe des bases qui ont une orientation contraire à celle de (par exemple si , la base ).

Définition : Orientation de E

Choisir une de ces deux classes, c'est par définition orienter le -espace vectoriel . Il y a donc deux orientations possibles.

Les bases appartenant à la classe choisie sont appelées directes ou positivement orientées, les bases appartenant à l'autre classe sont appelées indirectes ou rétrogrades ou négativement orientées.

Remarque

Pour orienter l'espace en général, on prend une base et on choisit la classe la contenant ; autrement dit on qualifie de directe les bases qui ont même orientation que la base choisie.

La notion d'orientation n'est pas intrinsèque et est de plus assez arbitraire car il n'y a pas forcément de choix naturel de base de référence.

Par contre, dans , il est naturel de définir l'orientation à partir de la base canonique et de choisir comme orientation la classe la contenant ; dans ce cas la base canonique est directe.

Exemple

Dans (respectivement dans ) les physiciens choisissent (respectivement ) comme bases directes.

Légende :
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