Système linéaire d'ordre 3 avec paramètre
Partie
Question
Pour quelles valeurs du paramètre réel \(a\) le système linéaire suivant est-il un système de Cramer ?
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}ax&+&y&+&z&=&1\\x&+&ay&+&z&=&a\\x&+&y&+&az&=&a^2\end{array}\right.\)
Résoudre le système en discutant suivant les valeurs du paramètre réel \(a\).
Aide méthodologique
On calcule le déterminant du système ; puisqu'on cherche les valeurs de a qui annulent ce déterminant on utilise une méthode de calcul qui donne une factorisation de ce déterminant. Plutôt que la règle de Sarrus ou un développement direct suivant une ligne ou une colonne, on utilise de préférence les propriétés du déterminant et la forme particulière de celui-ci pour faire apparaître un facteur commun dans une ligne ou une colonne.
Pour les valeurs de \(a\) où le déterminant est non nul on calcule le triplet solution unique par les formules de Cramer. Pour chacune des autres valeurs de \(a\) il faut faire une étude spécifique du système.
Aide à la lecture
Un système linéaire de \(n\) équations et \(n\) inconnues est dit 'de Cramer' si son déterminant est non nul.
Solution détaillée
On a un système de Cramer si et seulement si le déterminant du système est non nul. On calcule donc ce déterminant :
\(D=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{array}\right|\)
On observe que la somme de chaque ligne (ou de chaque colonne) donne \(a+2\), on ajoute donc à la première colonne \(C_1\) la somme des deux autres (\(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)), ce qui permet de mettre en facteur \((a+2)\).
\(D=\left|\begin{array}{ccc}a+2&1&1\\a+2&a&1\\a+2&1&a\end{array}\right|=(a+2)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{array}\right|\)
Le déterminant qui reste à calculer peut être rendu triangulaire en retranchant la première ligne \(L_1\) des deux autres (\(L_2\leftarrow L_2-L_1\) puis \(L_3\leftarrow L_3-L_1\))
\(D=(a+2)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{array}\right|=(a+2)(a-1)^2\)
Le système est donc de Cramer si et seulement si \(a\) est élément de \(R\backslash \{-2,1\}\) et dans ce cas il a un triplet solution unique.
Le résultat de la question précédente nous permet de structurer la discussion en l'étude des trois cas :
\(a\in R\backslash\{-2,1\}\)
\(a=-2\)
\(a=1\)
Étude du premier cas :\(a\in R\backslash\{-2,1\}\)
Il reste à calculer le triplet solution \((x,y,z)\)
D'après les formules de Cramer on a :
\(x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&a&1\\a^2&1&a\end{array}\right|}{D}\),\(y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&a^2&a\end{array}\right|}{D}\),\(z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&a\\1&1&a^2\end{array}\right|}{D}\)
On a donc à calculer les trois déterminants :
\(D_1=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&a&1\\a^2&1&a\end{array}\right|\),\(D_2=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&a^2&a\end{array}\right|\),\(D_3=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&a\\1&1&a^2\end{array}\right|\)
Pour le premier déterminant, on retranche la seconde colonne de la première (\(C_1\leftarrow C_1-C_2\)) puis on développe suivant la première colonne :
\(D_1=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\a&a&1\\a^2&1&a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\0&a&1\\a^2-1&1&a\end{array}\right|=(a^2-1)(1-a)=-(a-1)^2(a+1)\)
Pour le second on fait la transformation \(C_1\leftarrow C_1-C_3\) puis on factorise par \((a-1)\)
\(D_2=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&a^2&a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a-1&1&1\\0&a&1\\1-a&a^2&a\end{array}\right|=(a-1)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&a&1\\-1&a^2&a\end{array}\right|\)
On effectue ensuite la transformation \(L_3\leftarrow L_3+L_1\)
\(D_2=(a-1)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&a&1\\0&a^2+1&a+1\end{array}\right|=(a-1)^2\)
Pour le troisième on fait la transformation \(C_3\leftarrow C_3-C_2\)
\(D_3=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&a\\1&1&a^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a&1&0\\1&a&0\\1&1&a^2-1\end{array}\right|=(a^2-1)^2=(a-1)^2(a+1)^2\)
Après simplification on obtient l'unique triplet solution du système :
\(\left(-\frac{(a+1)}{(a+2)},\frac{1}{(a+2)},\frac{(a+1)^2}{(a+2)}\right)\)
Étude du deuxième cas : \(a=-2\)
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{ccccccc}-2x&+&y&+&z&=&1\\x&-&2y&+&z&=&-2\\x&+&y&-&2z&=&4\end{array}\right.\)
Si on ajoute les deux premières équations à la troisième (\(L_3\leftarrow L_3+L_1+L_2\)) on obtient comme troisième équation : \(0x+0y+0z=3\).
Par conséquent il est clair que le système a un ensemble de solution vide.
Étude du troisième cas : \(a=1\)
Le système s'écrit : \(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&z&=&1\\x&+&y&+&z&=&1\\x&+&y&+&z&=&1\end{array}\right.\)
Les trois équations sont identiques, le système est équivalent à l'unique équation : \(x+y+z=1\).
Il y a une infinité de solutions dépendant de deux paramètres : tous les triplets de la forme \((\lambda,\mu,1-\lambda-\mu)\) où \((\lambda,\mu)\) est un élément quelconque de \(R^2\).
Pour résumer, si on appelle S l'ensemble des solutions du système on a :
\(a\in R\backslash\{-2,1\}\)
\(S=\left\{\left(-\frac{(a+1)}{(a+2)},\frac{1}{(a+2)},\frac{(a+1)^2}{(a+2)}\right)\right\}\)
\(a=-2\)
\(S=\varnothing\)
\(a=1\)
\(S=\left\{(\lambda,\mu,1-\lambda-\mu)/(\lambda,\mu)\in R^2\right\}\)