Opérations sur les développements limités

Nous allons voir comment : additionner, multiplier, diviser, composer des développements limités ; à l'aide des développements limités usuels et des opérations, nous pourrons ainsi fabriquer "plein" de développements limités.

Dans un développement limité à l'ordre \(n\), le reste est de la forme \(x^n\epsilon(x)\) où \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\) ; dans la pratique, nous n'aurons pas à expliciter \(\epsilon\), toutefois tout développement limité doit être écrit complétement, c'est-à-dire avec son reste.

On n'a jamais le droit d' "oublier" le reste ; par exemple,

\(\displaystyle{\textrm{sin }x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+x^5\epsilon(x)}\),

est vrai, en effet c'est le développement limité de \(\textrm{sin }x\) à l'ordre 5 en 0. Par contre, l'égalité

\(\displaystyle{\textrm{sin }x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5}\)

est fausse (pensez aux propriétés des polynômes et de leurs racines ... la fonction \(\textrm{sin }x\) peut-elle être un polynôme ?)