Formulaire des développements usuels
Les développements limités usuels à savoir par coeur sont les suivants :
Fondamental :
\(\displaystyle{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{sh }x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{ch }x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{sin }x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{cos }x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{arctan }x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+1}\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\epsilon(x)}\),
\(\displaystyle{\textrm{ln }(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+x^{n+1}\epsilon(x)}\),
où \(\alpha\in\mathbb R\) et à chaque fois \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\)
Pour les apprendre et les retenir, il faut s'aider des propriétés de parité : \(\textrm{sh }x\) et \(\textrm{sin }x\) sont impaires ; \(\textrm{ch }x\) et \(\textrm{cos }x\) sont paires ; et cela se voit sur les cœfficients de leurs développements !
Il faut aussi penser à des contrôles simples : \(e^ 0 = 1\), et cela donne le premier terme du développement ; de même pour \((1+x)^a\). Comme \(\textrm{ln }(1 + x)\) s'annule en 0, son terme constant est nul...
Quelles sont les fonctions dont le développement fait intervenir des factorielles, et quelles sont celles qui n'en ont pas ? etc.