Composition de développements limités
A présent, composons les développements limités.
Proposition : Proposition 7
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent des développements limités à l'ordre \(n\) en 0 :
\(f(x)=\sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k+x^n\epsilon_1(x),\quad g(x)=Q(x)+x^n\epsilon_2(x)\) avec \(Q(0)=0\), alors \(f\bigcirc g\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 :
\(\displaystyle{f(g(x))=\sum_{k=0}^{k=n}a_k[Q^k]_n(x)+x^n\epsilon_3(x)}\)
où \([Q^k]_n\) est composé des termes de degré inférieur ou égal à \(n\) du polynôme \(Q^k\).
Attention à la condition \(Q(0)=0\) ; si elle n'est pas vérifiée, on ne peut même pas, sans autre information, savoir si \(f\bigcirc g\) admet un développement limité à l'ordre 0 en 0...
Exemple :
\(\displaystyle{\textrm{sin }x=x-\frac{x^3}{6}+x^4\epsilon_1(x)}\) et \(\displaystyle{\textrm{cos }x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^4\epsilon_2(x)}\) mais ce n'est pas cela qui donne directement le développement limité à l'ordre 4 de \(\textrm{sin }(\textrm{cos }x)\) en 0. Il faudrait pour cela utiliser d'abord la formule \(\textrm{sin }(a + b) =\textrm{sin }a\textrm{ cos }b + \textrm{sin }b \textrm{ cos }a\)
avec \(a=1\) et \(\displaystyle{b=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^4\epsilon_2(x)}\). et ensuite seulement on pourrait appliquer (deux fois !) la proposition 7.