Quotient de développements limités
Proposition : Proposition 6
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent des développements limités à l'ordre \(n\) en 0 : \(f(x)=P(x)+x^n\epsilon_1(x)\), \(g(x)=Q(x)+x^n\epsilon_2(x)\) avec \(Q(0)\ne0\), alors \(\displaystyle{\frac{f}{g}}\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 :
\(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=A(x)+x^n\epsilon_3(x)}\)
où \(A\) est le quotient de la division de \(P\) par \(Q\) suivant les puissances croissantes à l'ordre \(n\).
Preuve :
Avant les calculs il faut s'assurer que \(\displaystyle{\frac{f}{g}}\) est bien définie sur un voisinage pointé de 0 : comme \(\lim_{x\rightarrow0}g(x)=Q(0)\ne0\), il existe un voisinage de 0 sur lequel \(g\) ne s'annule pas.
La division de \(P\) par \(Q\) suivant les puissances croissantes à l'ordre \(n\) s'écrit :
\(P(x)=Q(x)A(x)+x^{n+1}R(x)\) avec \(\textrm{deg }A\le n\). On a donc, au voisinage de 0 :
\(f(x)=Q(x)A(x)+x^n(\epsilon_1(x)+xR(x))\),
\(Q(x)=g(x)- x^n\epsilon_2(x)\);
d'où \(f(x)=g(x)A(x)+x^n(\epsilon_1(x)+xR(x)-\epsilon_2(x)A(x))\),
soit : \(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=A(x)+x^n\left(\frac{\epsilon_1(x)+xR(x)-\epsilon_2(x)A(x)}{g(x)}\right)}\)
En posant : \(\displaystyle{\epsilon_3(x)=\frac{\epsilon_1(x)+xR(x)-\epsilon_2(x)A(x)}{g(x)}}\), on obtient :
\(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=A(x)+x^n\epsilon_3(x)}\), avec \(\textrm{deg }A\le n\) et \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_3(x)=0\).