Problème 1 :
Partie
L'équation \(\displaystyle{y"-3y'+2y=\textrm{e}^{-x}}\).
Question
Trouver la solution générale de l'équation
\(\displaystyle{y"-3y'+2y=0\quad(1)}\).
Solution détaillée
L'équation caractéristique de l'équation (1) \(\;\displaystyle{y"-3y'+2y=0}\) est \(\displaystyle{r^2-3r+2=0}\). Ses racines sont \(r_0=1\) et \(r_1=2\).
Donc la solution générale de \((1)\) est
\(\displaystyle{y=A\textrm{e}^x+B\textrm{e}^{2x}}\)
Question
Trouver la solution \(u_b(x)\) de \((1)\) vérifiant \(u_b(0)=1\) et \(u_b'(0)=b\).
Solution détaillée
La condition \(u_b(0)=1\) se traduit par \(A+B=1\), la condition \(u_b'(0)=b\) par \(A+2B=b\),
d'où \(B=b-1\) et \(A=2-b\), donc finalement
\(\displaystyle{u_b(x)=(2-b)\textrm{e}^x+(b-1)\textrm{e}^{2x}}\)
Question
Pour quelles valeurs de \(b\) existe-t-il un réel \(x_0\) tel que \(u_b(x_0)=0\) ? Montrer qu'alors \(x_0\) est unique (la fonction\(u_b\) ne s'annule qu'une fois) et calculer \(x_0\) en fonction de \(b\).
Vérifier vos résultats sur la figure ci-dessous : vous pouvez choisir \(b\) en déplaçant la souris bouton enfoncé. Lorsque vous relâchez la souris, le graphe de \(u_b\) s'affiche en vert.
Solution détaillée
On peut encore écrire \(\displaystyle{u_b(x)=\textrm{e}^x[2-b+(b-1)\textrm{e}^x]}\).
Cette fonction s'annule en \(x_0\) si et seulement si \(\displaystyle{2-b+(b-1)\textrm{exp}(x_0)=0}\), ce qui ne se produit que pour
\(\displaystyle{x_0=\textrm{ln}((b-2)/(b-1))}\).
Cela n'est possible que si \((b-2)/(b-1)>0\), donc pour \(b<1\) ou \(b>2\) (et dans ce cas la valeur \(x_0\) est unique).