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Problème 4 :

Enoncé global

Les tangentes à l'hyperbole

On considère l'hyperbole d'équation .

Question n°1

 Montrer que l'équation de la tangente à en un point d'abscisse est de la forme ; exprimer en fonction de . Montrer que, réciproquement, toute droite d'équation est tangente à en un point dont on exprimera l'abscisse en fonction de .

Question n°2

 Soit la famille des droites dont l'équation est de la forme . Discuter, en fonction de et le nombre de droite de passant par .

Question n°3

En dérivant l'équation , et en éliminant entre l'équation et sa dérivée, montrer que toutes ces droites sont solution de l'équation différentielle

Question n°4

 Montrer que toutes les solutions de sont aussi solutions de l'équation différentielle du second ordre

Remarquer que toutes les droites sont solutions de . Les seules solutions "intéressantes" sont celles dont la dérivée seconde ne s'annule pas.

Question n°5

Montrer que les solutions de dont la dérivée seconde ne s'annule pas sont solution de

.

Résoudre cette équation.

Question n°6

Parmi les solutions de , lesquelles sont solution de ? Préciser les intervalles de définitions.

Question n°7

 Soit un réel positif. Montrer que la fonction définie par

  • si ,

  • si est dérivable en tout point et est une solution de .

Équation différentielle : hyperbole
Légende :
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