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Problème 2 :

Enoncé global

L'équation

Etude qualitative.

Question n°1

 Trouver les isoclines de pente , , et . Montrer que, si , l'isocline de pente est l'ensemble vide.

Question n°2

 Trouver deux solutions constantes.

Question n°3

Régionner le plan selon le signe de . Faire un dessin plausible de l'ensemble des solutions.

Question n°4

 Montrer que le champ de tangentes est invariant par translations horizontales ; en déduire que, si est une solution définie sur un intervalle et un réel quelconque, la fonction définie par est aussi solution ; quel est son intervalle de définition ?

Question n°5

 Soit , et la solution vérifiant et l'intervalle de définition de .

a. Montrer que, pour tout de , , puis que est croissante. En déduire que la borne supérieur de est .

b. Montrer que si tend vers , tend vers une limite inférieur ou égale à , et que tend vers une limite positive ou nulle.

Montrer qu'il n'est pas possible d'avoir , et en déduire que (le graphe de est asymptote à la droite en ).

Question n°6

Pensez-vous que le domaine de définition de est tout entier, ou est de la forme  ?

Question n°7

 Vérifier qualitativement vos résultats sur la figure ci-dessous : si vous cliquez sur un point, le graphe de la solution passant par ce point s'affiche en vert. Cela vous permet-il de répondre à la question 6 ?

II : Résolution de l'équation.

Il s'agit d'expliciter l'équation des solutions.

1. L'équation est-elle linéaire ? est-elle autonome ?est-elle exacte ?

2. Décomposer la fraction rationnelle en élément simples, puis trouver ses primitives.

3. Quelle est l'équation de la solution vérifiant  ? Discuter en fonction de le domaine de définition de cette solution (on rappelle qu'un tel domaine de définition est un intervalle).

4. Répondre à la question .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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