Problème 5 :
Partie
La méthode d'Euler
Dans ce problème, nous nous proposons d'appliquer la méthode d'Euler à l'équation \(y' = y\).
Question
1. Déterminer la solution \(u\) de l'équation \(y' = y\) vérifiant \(u(0) = 1\).
A partir de maintenant on se fixe une valeur réelle \(X> 0\).
Solution détaillée
1. La solution générale de \(y' = y\) est \(\). Puisque \(u(0) = 1\) on a \(K = 1\), donc la solution cherchée est \(\displaystyle{u(x) =\textrm{e}^x}\).
Question
2. Soit \(N\) un entier positif. On va appliquer la méthode d'Euler à l'équation \(y' = y\), en partant du point \(\displaystyle{(x_0, y_0) = (0, 1)}\), et en utilisant le pas \(h = X/N\). On effectuera donc \(N\) pas pour obtenir une approximation de \(u(X)\).
Quelles sont les coordonnées \((x_1, y_1)\) du premier point obtenu, après avoir fait un pas ?
Solution détaillée
2. En tout point (\(x\),\(y\)) la pente du champ de tangentes est égale à \(y\) ; en particulier la pente au point (\(x_0\), \(y_0\)) est égale à \(y_0 = 1\).
De plus le pas \(h\) vaut \(X/N\) ; on a donc
\(\displaystyle{x_1 = x_0 + h = X/N}\)
\(\displaystyle{ y_1 = y_0 + h y_0 = 1 + X/N}\).
Question
3. Calculer les coordonnées \((x_k, y_k)\) du point obtenu après avoir effectué \(k\) pas de la méthode d'Euler (toujours en utilisant le pas \(h = X/N\)). Expliciter en particulier \(x_N\) et \(y_N\).
Solution détaillée
3. Les relations de récurrence sur \(x_k\) et \(y_k\) sont
\(\displaystyle{x_k+1 = x_k + h}\),
et puisque la pente en (\(x_k\), \(y_k\)) est égale à \(y_k\),
\(\displaystyle{y_{k+1} = y_k + hy_k = y_k (1 + X/N)}\).
Il en résulte que \(\displaystyle{x_k = x_0 + kh = k X/N}\) et \(\displaystyle{y_k = (1 + X/N)^k y_0 = (1 + X/N)^k}\).
En particulier, \(x_N = X\) et \(\displaystyle{y_N = (1 + X/N)^N}\).
Question
4. \(N\) étant fixé, calculer \(y_k\) en fonction de \(x_k\), sous forme d' une relation du type \(y = \textrm{e}^{ax}\), où \(a\) est un coefficient qui dépend de \(N\) et \(X\), mais pas de \(k\). En d'autres termes, tous les points \((x_k, y_k)\) sont sur une même exponentielle.
Solution détaillée
4. On cherche à écrire \(y_k\) sous la forme\(\displaystyle{\textrm{exp}(ax_k)}\), la valeur \(a\) dépendant de \(N\) et \(X\) (mais pas de \(k\)).
Or on peut écrire \(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}(k\textrm{ln}(1 + X/N))}\) et \(\displaystyle{k = (N/X) x_k}\).
Donc \(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}[(N/X) \textrm{ln}(1 + X/N) x_k]}\) et si on pose \(\displaystyle{a = N/X \textrm{ln}(1 + X/N)}\)
on a bien\(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}(ax_k)}\),
ceci pour \(k\) de \(0\) à \(N\).
Question
4. \(N\) étant fixé, calculer \(y_k\) en fonction de \(x_k\), sous forme d' une relation du type \(\displaystyle{y = \textrm{e}^{ax}}\), où \(a\) est un coefficient qui dépend de \(N\) et \(X\), mais pas de \(k\). En d'autres termes, tous les points \((x_k, y_k)\) sont sur une même exponentielle.
Solution détaillée
4. On cherche à écrire \(y_k\) sous la forme\(\displaystyle{\textrm{exp}(ax_k)}\), la valeur \(a\) dépendant de \(N\) et \(X\) (mais pas de \(k\)).
Or on peut écrire \(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}(k\textrm{ln}(1 + X/N))}\) et \(\displaystyle{k = (N/X) x_k}\).
Donc \(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}[(N/X) \textrm{ln}(1 + X/N) x_k]}\) et si on pose \(\displaystyle{a = N/X \textrm{ln}(1 + X/N)}\)
on a bien\(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}(ax_k)}\),
ceci pour \(k\) de \(0\) à \(N\).
Question
5. Lorsqu'on augmente \(N\), le pas diminue. Quelle est la limite de \(a\) et de \(y_N\) lorsque \(N\) tend vers l'infini ? Conclure.
Solution détaillée
5.On sait que \(\displaystyle{\textrm{ln}(1 + t)/t\to 1}\) quand \(t\to 0\). Donc en posant \(t = X/N\), quand \(N \to\infty\), on a bien \(t\to 0\) et
\(\displaystyle{ a = N/X . \textrm{ln}(1 + X/N) = \textrm{ln}(1 + t)/t}\) .
Autrement dit, a tend vers \(1\) quand \(N\) tend vers \(\infty\). Par ailleurs \(y_N = \textrm{exp}(N \textrm{ln}(1 + X/N))\), et quand \(N\) tend vers \(\infty\), \(\displaystyle{N. \textrm{ln}(1 + X/N)\sim N . X/N}\) et tend donc vers \(X\).
Donc \(y_N\) tend vers \(\displaystyle{\textrm{exp}(X)}\) quand \(N\) tend vers \(\infty\).
On retrouve bien le fait que, quand le nombre de pas \(N\) tend vers \(\infty\), la valeur approchée \(y_N\) tend vers la valeur de la solution exacte \(u(X)\), c'est à dire \(\textrm{e}^X\).
Question
6. Pour \(N\) quelconque fixé, montrer que les points (\(x_k\), \(y_k\)) (\(k\) de \(1\) à \(N\)) sont tous en dessous du graphe de la solution \(u\) (on peut montrer d'abord que, pour tout \(t> 0\), on a \(\displaystyle{\textrm{ln} (1 + t)< t}\), puis utiliser la question \(4\)).
Conclusion : la méthode d'Euler donne ici une approximation par défaut de \(u(X)\).
Sur le dessin ci-dessous, la solution "exacte" est représentée en bleu ; choisissez le nombre \(N\) de pas et faites tracer l'approximation obtenue par la méthode d'Euler. On a choisi ici \(X = 2\).
Solution détaillée
6. Les fonctions \(f(t) = t\) et \(\displaystyle{g(t) = \textrm{ln}(1 + t)}\) ont même valeur\(0\) pour \(t = 0\).
De plus, \(f'(t) = 1\) et\(g'(t) = 1/(1 + t)\), donc si \(t> 0\), \(f'(t)< g'(t)\) ;
par conséquent pour \(t> 0\), la fonction \(f\) croît strictement plus vite que \(g\), et comme
elles ont même valeur en \(0\), on a pour tout \(t> 0\), \(f(t)> g(t)\), c'est à dire \(\displaystyle{\textrm{ln}(1 + t)< t}\).
En posant \(t = X/N\) (on a bien \(t> 0\)), on voit alors que \(\displaystyle{a = \textrm{ln}(1 + t) / t < 1}\).
Donc pour tout \(x> 0\), \(\displaystyle{\textrm{exp}(ax)< \textrm{exp}(x)}\) (la fonction \(\textrm{exp}\) étant croissante).
Donc pour tout \(k\) de \(1\) à \(N\), \(\displaystyle{y_k = \textrm{exp}(ax_k)< \textrm{exp}(xk)}\) : autrement dit le point (\(x_k\), \(y_k\)) est en-dessous du point (\(x_k\),\(\textrm{exp}(xk))\), c'est à dire en-dessous du graphe de la solution \(\displaystyle{u(x) = \textrm{e}^x}\) (on obtient ici une approximation par défaut).
C'est ce qu'on peut vérifier sur le dessin situé à la fin de l'énoncé.