Mathématiques
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Problème 5 :

Enoncé global

La méthode d'Euler

Dans ce problème, nous nous proposons d'appliquer la méthode d'Euler à l'équation .

Question n°1

1. Déterminer la solution de l'équation vérifiant .

A partir de maintenant on se fixe une valeur réelle .

Question n°2

2. Soit un entier positif. On va appliquer la méthode d'Euler à l'équation , en partant du point , et en utilisant le pas . On effectuera donc pas pour obtenir une approximation de .

Quelles sont les coordonnées du premier point obtenu, après avoir fait un pas ?

Question n°3

3. Calculer les coordonnées du point obtenu après avoir effectué pas de la méthode d'Euler (toujours en utilisant le pas ). Expliciter en particulier et .

Question n°4

4. étant fixé, calculer en fonction de , sous forme d' une relation du type , où est un coefficient qui dépend de et , mais pas de . En d'autres termes, tous les points sont sur une même exponentielle.

Question n°5

4. étant fixé, calculer en fonction de , sous forme d' une relation du type , où est un coefficient qui dépend de et , mais pas de . En d'autres termes, tous les points sont sur une même exponentielle.

Question n°6

5. Lorsqu'on augmente , le pas diminue. Quelle est la limite de et de lorsque tend vers l'infini ? Conclure.

Question n°7

6. Pour quelconque fixé, montrer que les points ( , ) ( de à ) sont tous en dessous du graphe de la solution (on peut montrer d'abord que, pour tout , on a , puis utiliser la question ).

Conclusion : la méthode d'Euler donne ici une approximation par défaut de .

Sur le dessin ci-dessous, la solution "exacte" est représentée en bleu ; choisissez le nombre de pas et faites tracer l'approximation obtenue par la méthode d'Euler. On a choisi ici .

Approximation par la méthode d'Euler
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