Énoncés des propriétés
Règle : Règles de calcul dans un espace vectoriel
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\). Les propriétés suivantes sont satisfaites :
L'addition est régulière : Si \(u, v\), et \(w\) sont des vecteurs tels que
\(u + v = u + w\), alors \(v = w\)
Pour tout vecteur \(v\) de \(E\), \(0v = 0\)
Pour tout scalaire \(\alpha\), \(\alpha0 = 0\)
Pour tout vecteur \(v\) de \(E\), \((-1)v = - v\)
L'opération \((v,w) \mapsto v + (-w)\) s'appelle la soustraction ; le vecteur \(v + (-w)\) est noté \(v - w\) . Les propriétés suivantes sont satisfaites :
Pour tout scalaire \(\alpha\) et tous vecteurs \(v\) et \(w\), \(\alpha(v - w) = \alpha v - \alpha w\)
Pour tous scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) et tout vecteur \(v, (\alpha - \beta)v = \alpha v - \beta v\)
Si \(\lambda\) est un scalaire et \(v\) un vecteur tels que \(\lambda v =0\), alors
soit \(\lambda = 0\), soit \(v = 0\)
Complément : Synthèse
Les propriétés 2, 3, et 6 peuvent être résumées par le résultat fondamental et incontournable suivant :
\(\lambda v = 0\) si et seulement si \(\lambda v = 0\) ou \(v = 0\)
Remarque : Remarque 1
Les démonstrations de ces propriétés sont un excellent exercice de manipulation des axiomes d'espace vectoriel. Elles sont donc traitées intégralement dans ce qui suit.
Remarque : Remarque 2
Pour la clarté des démonstrations , et pour ne pas les confondre, \(0_E\) désigne l'élément neutre de l'addition de \(E\) et \(0_{\mathbf K}\) l'élément neutre de \(\mathbf K\).
Dans la suite, ces contraintes de notations seront abandonnées chaque fois qu'il n'y aura aucune ambiguïté.