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Énoncés des propriétés
Règle : Règles de calcul dans un espace vectoriel

Soit un espace vectoriel sur un corps . Les propriétés suivantes sont satisfaites :

  1. L'addition est régulière : Si , et sont des vecteurs tels que

    , alors

  2. Pour tout vecteur de ,

  3. Pour tout scalaire ,

  4. Pour tout vecteur de ,

  5. L'opération s'appelle la soustraction ; le vecteur est noté . Les propriétés suivantes sont satisfaites :

    • Pour tout scalaire et tous vecteurs et ,

    • Pour tous scalaires et et tout vecteur

  6. Si est un scalaire et un vecteur tels que , alors

    soit , soit

Complément : Synthèse

Les propriétés 2, 3, et 6 peuvent être résumées par le résultat fondamental et incontournable suivant :

si et seulement si ou

Remarque : Remarque 1

Les démonstrations de ces propriétés sont un excellent exercice de manipulation des axiomes d'espace vectoriel. Elles sont donc traitées intégralement dans ce qui suit.

Remarque : Remarque 2

Pour la clarté des démonstrations , et pour ne pas les confondre, désigne l'élément neutre de l'addition de et l'élément neutre de .

Dans la suite, ces contraintes de notations seront abandonnées chaque fois qu'il n'y aura aucune ambiguïté.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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