Démonstration des propriétés
Propriété : Propriété 1
L'addition est régulière : Si \(u, v\), et \(w\) sont des vecteurs tels que
\(u + v = u + w\), alors \(v = w\)
Preuve : Preuve de la propriété 1
En ajoutant aux deux membres de l'égalité \(u+ v = u + w\) le symétrique de \(u\), soit \(-u\), on obtient l'égalité
\((-u) + (u + v) = (-u) + (u + w)\)
Ce qui, en utilisant l'associativité de l'addition des vecteurs, permet d'obtenir l'égalité
\(((-u)+ u) +v = ((-u) + u) + w\)
Or \(((-u) + u) = 0_E\) d'après la définition du symétrique, l'égalité devient donc
\(0_E + v = 0_E + w\)
d'où \(v = w\) d'après la définition de l'élément neutre de l'addition.
Remarque : Remarque destinée aux étudiants connaissant la notion de groupe
Ceci est une propriété du groupe abélien \((E,+)\)
Propriété : Propriété 2
Pour tout vecteur \(v\) de \(E,0_\mathbf{K} v = 0_E\)
Preuve : Preuve de la propriété 2
Le point de départ de la démonstration est l'égalité dans \(\mathbf K\)
\(0_\mathbf K + 0_\mathbf K = 0_\mathbf K\)
D'où, pour tout vecteur \(v\) de \(E\), l'égalité :
\((0_\mathbf K + 0_\mathbf K)v = 0_\mathbf Kv\)
Soit en utilisant la distributivité de la loi externe par rapport à la loi interne et la définition de l'élément neutre
\(0_\mathbf K v + 0_\mathbf K v = 0_\mathbf K v = 0_\mathbf K v + 0_E\)
Ce qui permet d'obtenir l'égalité souhaitée \(0_\mathbf K v = 0_E\) grâce à la propriété 1
Propriété : Propriété 3
Pour tout \(\alpha\) élément de \(\mathbf K, \alpha 0_E = 0_E\)
La preuve est semblable en partant de l'égalité \(0_E + 0_E = 0_E\)
Preuve : Preuve de la propriété 3
En multipliant les deux membres de l'égalité par \(\alpha\), il vient \(\alpha (0_E + 0_E) = \alpha 0_E\) d'où en utilisant la distributivité de l'addition par rapport la loi externe et la définition de l'élément neutre,
\(\alpha 0_E + \alpha 0_E = \alpha 0_E 0_E\)
d'où en simplifiant, ce qui est licite d'après la propriété 1, \(\alpha0_E = 0_E\)
Propriété : Propriété 4
Pour tout vecteur \(v\) de \(E, (-1) v = -v\)
Preuve : Preuve de la propriété 4
Compte tenu de la définition du symétrique pour l'addition d'un élément de \(E\) il suffit, pour justifier la propriété, de calculer l'expression \(v + (-1)v\)
\(v + (-1)v = 1 v + (-1)v\) (propriété de la multiplication par 1)
d'où \(v + (-1)v = (1 + (-1))v\) (distributivité de l'addition des scalaires)
d'où \(v + (-1)v = 0_\mathbf K v\) car dans \(\mathbf K,1 + (-1)v = 0_E\)
Le vecteur \((-1)v\) est donc ainsi le symétrique du vecteur \(v\).
Propriété : Propriété 5
L'opération \((v,w) \mapsto v + (-w)\) s'appelle la soustraction ; le vecteur \(v + (-w)\) est noté \(v -w\). Les propriétés suivantes sont satisfaites :
a) Pour tout scalaire \(\alpha\) et tous vecteurs \(v\) et \(w\), \(\alpha(v - w) = \alpha v - \alpha w\)
b) Pour tout scalaire \(\alpha\) et \(\beta\) et tout vecteur \(v\), \((\alpha, \beta)v = \alpha v - \beta v\)
Preuve : Preuve de la propriété 5
Les outils essentiels de la preuve de ces deux propriétés sont :
la définition du symétrique d'un vecteur,
les propriétés d'associativité de l'addition et de distributivité par rapport à la loi externe.
Preuve : Preuve de la propriété 5a
Avec la notation introduite dans l'énoncé, \(\alpha v - \alpha v\) est égal à \(\alpha v + (- \alpha w)\). Alors,
\(\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha[(v + (-w)) + w] \)(distributivité)
\(\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha [v + ((-v) + w)]\) (associativité de l'addition dans \(E\))
\(\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha [v + 0_E]\) (définition du symétrique)
d'où \(\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha v\) (définition de l'élément neutre)
ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de \(\alpha w\)
Preuve : Preuve de la propriété 5b
Elle est du même type. Le point de départ en est le calcul de \((\alpha - \beta)v + \beta v\).
On a
\((\alpha - \beta) v + \beta v = [(\alpha - \beta) + \beta] v\) (distributivité)
\((\alpha - \beta) v + \beta v = [\alpha + ((-\beta) + \beta)]v\) (associativité de l'addition dans \(\mathbf K\))
\((\alpha - \beta) v + \beta v = [\alpha + 0_\mathbf K]v\) (définition du symétrique dans \(\mathbf K\))
\((\alpha - \beta) v + \beta v = \alpha v\) (propriété de l'élément neutre dans \(\mathbf K\))
Ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de \(\beta v\).
Remarque : Remarque 1
La relation \(5a\) écrite avec \(v = 0_E\) donne la relation : \(\alpha(-w) = -\alpha w\).
De même la relation \(5b\), écrite avec \(\alpha = 0_\mathbf K\) donne la relation : \((- \beta)v = -\beta v\) .
Remarque : Remarque 2
La soustraction n'est ni associative ni commutative.
Propriété : Propriété 6
Si \(\lambda\) est un scalaire et \(v\) un vecteur tels que \(\lambda v = 0\) alors soit \(\lambda = 0\), soit \(v = 0\)
Remarque : Remarque sur la méthodologie de ce type de propriétés
En désignant par \((P)\) la propriété " \(\lambda v = 0\), par \((Q)\) la propriété " \(\lambda = 0\) " et par \((R)\) la propriété " \(v = 0\) ", le schéma logique de l'énoncé 6 est :
\((P)\) implique \((Q)\) ou \((R)\)
Une méthode, pour démontrer ce type d'énoncé, est de montrer que
\((P)\) et non \((Q)\) implique \((R)\)
On pourrait, bien sûr aussi, montrer que
\((P)\) et non \((R)\) implique \((Q)\)
Le choix dépend du contexte et de la facilité à traduire non \((Q)\) ou non \((R)\).
Complément :
Ici, on va se placer dans la première situation.
Soit donc \(\lambda\) un scalaire et \(v\) un vecteur vérifiant \(\lambda v = 0_E\) et \(\lambda \ne 0\)
Alors \(\lambda\) est un élément inversible pour le produit dans le corps \(\mathbf K\); soit \(\lambda^{-1}\) son inverse. En multipliant par \(\lambda^{-1}\) les deux membres de l'égalité, il vient :
\(\lambda^{-1} (\lambda v) = \lambda^{-1}0_E\)
d'où en utilisant les propriétés de la multiplication par un scalaire
\((\lambda^{-1} \lambda) v = 0_E\)
et donc
\(1 v = 0_E\)
d'où avec la propriété de la multiplication par 1
\(v=0_E\)