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Démonstration des propriétés
Propriété : Propriété 1

L'addition est régulière : Si , et sont des vecteurs tels que

, alors

Preuve : Preuve de la propriété 1

En ajoutant aux deux membres de l'égalité le symétrique de , soit , on obtient l'égalité

Ce qui, en utilisant l'associativité de l'addition des vecteurs, permet d'obtenir l'égalité

Or d'après la définition du symétrique, l'égalité devient donc

d'où d'après la définition de l'élément neutre de l'addition.

Remarque : Remarque destinée aux étudiants connaissant la notion de groupe

Ceci est une propriété du groupe abélien

Propriété : Propriété 2

Pour tout vecteur de

Preuve : Preuve de la propriété 2

Le point de départ de la démonstration est l'égalité dans

D'où, pour tout vecteur de , l'égalité :

Soit en utilisant la distributivité de la loi externe par rapport à la loi interne et la définition de l'élément neutre

Ce qui permet d'obtenir l'égalité souhaitée grâce à la propriété 1

Propriété : Propriété 3

Pour tout élément de

La preuve est semblable en partant de l'égalité

Preuve : Preuve de la propriété 3

En multipliant les deux membres de l'égalité par , il vient d'où en utilisant la distributivité de l'addition par rapport la loi externe et la définition de l'élément neutre,

d'où en simplifiant, ce qui est licite d'après la propriété 1,

Propriété : Propriété 4

Pour tout vecteur de

Preuve : Preuve de la propriété 4

Compte tenu de la définition du symétrique pour l'addition d'un élément de il suffit, pour justifier la propriété, de calculer l'expression

(propriété de la multiplication par 1)

d'où (distributivité de l'addition des scalaires)

d'où car dans

Le vecteur est donc ainsi le symétrique du vecteur .

Propriété : Propriété 5

L'opération s'appelle la soustraction ; le vecteur est noté . Les propriétés suivantes sont satisfaites :

  • a) Pour tout scalaire et tous vecteurs et ,

  • b) Pour tout scalaire et et tout vecteur ,

Preuve : Preuve de la propriété 5

Les outils essentiels de la preuve de ces deux propriétés sont :

  • la définition du symétrique d'un vecteur,

  • les propriétés d'associativité de l'addition et de distributivité par rapport à la loi externe.

Preuve : Preuve de la propriété 5a

Avec la notation introduite dans l'énoncé, est égal à . Alors,

(distributivité)

(associativité de l'addition dans )

(définition du symétrique)

d'où (définition de l'élément neutre)

ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de

Preuve : Preuve de la propriété 5b

Elle est du même type. Le point de départ en est le calcul de .

On a

(distributivité)

(associativité de l'addition dans )

(définition du symétrique dans )

(propriété de l'élément neutre dans )

Ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de .

Remarque : Remarque 1

La relation écrite avec donne la relation : .

De même la relation , écrite avec donne la relation : .

Remarque : Remarque 2

La soustraction n'est ni associative ni commutative.

Propriété : Propriété 6

Si est un scalaire et un vecteur tels que alors soit , soit

Remarque : Remarque sur la méthodologie de ce type de propriétés

En désignant par la propriété " , par la propriété " " et par la propriété " ", le schéma logique de l'énoncé 6 est :

implique ou

Une méthode, pour démontrer ce type d'énoncé, est de montrer que

et non implique

On pourrait, bien sûr aussi, montrer que

et non implique

Le choix dépend du contexte et de la facilité à traduire non ou non .

Complément

Ici, on va se placer dans la première situation.

Soit donc un scalaire et un vecteur vérifiant et

Alors est un élément inversible pour le produit dans le corps ; soit son inverse. En multipliant par les deux membres de l'égalité, il vient :

d'où en utilisant les propriétés de la multiplication par un scalaire

et donc

d'où avec la propriété de la multiplication par 1

Légende :
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S'exercer
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