Combinaisons linéaires d'éléments dans un espace vectoriel
Définition : Définition d'une combinaison linéaire de n vecteurs
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et \(v_1, v_2,...., v_n\) \(n\) vecteurs d'un \(\mathbf K{-espace}\) vectoriel \(E\). Tout vecteur de la forme \(\alpha_1v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\) où \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n\) sont des éléments de \(K\),
est appelé combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) .
Les scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n\) sont appelés coefficients de la combinaison linéaire.
Remarque :
Si \(n = 1\), on dit aussi que w est colinéaire à \(v_1\).
Exemple : Exemple 1
\(E = \mathbb R^3\), espace vectoriel sur \(\mathbb R\).
Soient les vecteurs \(V_1 = (1,1,0), V_2 = (1,1,1)\) et \(V_3 = (0,1,2)\). Une combinaison linéaire de \(V_1, V_2\) et \(V_3\) est un élément de la forme \(\alpha_1V_1 + \alpha_2V_2 + \alpha_3V_3\) où \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) sont des nombres réels, c'est-à-dire, tous calculs faits, le triplet
\((\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_2 + 2 \alpha_3)\)
Exemple : Exemple 2
\(E = \mathbb R^2\), espace vectoriel sur \(\mathbb R\).
Soit \(V_1 = (1,1)\). Le vecteur \(V = (2,1)\) n'est pas combinaison linéaire du vecteur \(V_1\).
En effet, s'il l'était, il existerait un réel \(\alpha\) tel que \(V = \alpha V_1\) ce qui équivaudrait à l'égalité \((2,1) = (\alpha, \alpha)\)
soit \(\alpha = 2\) et \(\alpha = 1\), or 2 est différent de 1 dans \(\mathbb R\).
Exemple : Exemple 3
E est le \(R\)-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles.
Soient
\(f_0\) la fonction polynôme : \(x \mapsto 1\)
\(f_1\) la fonction polynôme : \(x \mapsto x\)
\(f_2\) la fonction polynôme : \(x \mapsto x^2\)
\(f_3\) la fonction polynôme : \(x \mapsto x^3\)
Alors les fonctions f et g définies par
\(f : x \mapsto x^3 - 2 x^2 - 7x - 4\)
\(g : x \mapsto x^2\)
sont des combinaisons linéaires des fonctions \(f_0, f_1, f_2, f_3\) puisque il est possible d'écrire :
\(f = f_3 - 2f_2 - 7 f_1 - 4f_0\)
et
\(g = 0f_3 + f_2 + 0f_1 + 0f_0\)
Par contre, la fonction \(h:x \mapsto x^4\) n'est pas une combinaison linéaire des fonctions \(f_0, f_1, f_2, f_3\).
En effet s'il existait \((\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\) dans \(\mathbb R^4 \textrm{ tel que }h = \alpha_0f_0 + \alpha_1f_1 + \alpha_2f_2 + \alpha_3f_3\) cette égalité équivaudrait à la propriété :
pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \(h(x) = (\alpha_0f_0 + \alpha_1f_1 + \alpha_2f_2 + \alpha_3f_3)(x)\)
soit
pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \(x^4 = \alpha_0 + \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \alpha_3 x^3\)
D'où, en dérivant quatre fois, il viendrait \(4 != 0\) ce qui est faux dans \(\mathbb R\).
Exemple : Exemple 4
\(E = C\) considéré comme un \(R\)-espace vectoriel.
Tout élément de \(\mathbb C\) s'écrit d'une manière unique sous la forme \(a + bi\) avec \(a\) et \(b\) réels. Cette propriété bien connue peut être interprétée de la manière suivante :
Tout élément de \(\mathbb C\) est combinaison linéaire à coefficients réels des deux vecteurs 1 et \(i\) de \(\mathbb C\).