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Partie stable pour une loi
Définition : Définition de la stabilité pour une loi interne

Soit un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et un partie non vide de ; est dite stable pour la loi interne si pour tout couple d'éléments de la somme appartient à .

Complément

Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

Définition : Définition de la stabilité pour une loi externe

Soit un ensemble muni d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs et une partie non vide de ; est dite  stable pour la loi externe si pour tout élément de et pour tout élément de , appartient à .

Complément

Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

Exemple

Soit  : c'est une partie de stable pour l'addition usuelle, mais elle n'est pas stable pour la loi externe (la multiplication par un réel).

Preuve : Justification de l'exemple

L'ensemble est défini par : .

Soit deux couples et appartenant à ; si on considère l'addition définie dans , la somme de ces deux éléments :

est aussi un élément de car si et sont strictement positifs est également strictement positif.

L'ensemble est donc stable pour l'addition.

En revanche, n'est pas stable pour la multiplication par un réel (loi externe définie dans ) : en effet, si on prend par exemple le couple qui est élément de , alors n'est pas élément de .

Légende :
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