Partie stable pour une loi
Définition : Définition de la stabilité pour une loi interne
Soit \(E\) un ensemble muni d'une loi de composition interne, notée +, et \(F\) un partie non vide de \(E\); \(F\) est dite stable pour la loi interne si pour tout couple \((u, v)\) d'éléments de \(F\) la somme \(u + v\) appartient à \(F\).
Complément :
Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :
\(\forall u \in F, \forall v \in F, u + v \in F\)
Définition : Définition de la stabilité pour une loi externe
Soit \(E\) un ensemble muni d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs \(\mathbf K\) et \(F\) une partie non vide de \(E\); \(F\) est dite stable pour la loi externe si pour tout élément \(\lambda\) de \(\mathbf K\) et pour tout élément \(u\) de \(F\), \(\lambda u\) appartient à \(F\).
Complément :
Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :
\(\forall \lambda \in \mathbf K, \forall u \in F, \lambda u \in F\)
Exemple :
Soit \(\{ (x,y) \in \mathbb R^2 / x > 0\} \) : c'est une partie de \(\mathbb R^2\) stable pour l'addition usuelle, mais elle n'est pas stable pour la loi externe (la multiplication par un réel).
Preuve : Justification de l'exemple
L'ensemble \(F\) est défini par : \(\{ (x,y) \in \mathbb R^2 / x > 0\}\).
Soit deux couples \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) appartenant à \(F\) ; si on considère l'addition définie dans \(\mathbb R^2\), la somme de ces deux éléments :
\((x_1 + x_2, y_1 + y_2)\) est aussi un élément de \(F\) car si \(x_1\) et \(x_2\) sont strictement positifs \(x_1 + x_2\) est également strictement positif.
L'ensemble \(F\) est donc stable pour l'addition.
En revanche, \(F\) n'est pas stable pour la multiplication par un réel (loi externe définie dans \(\mathbb R^2\) ) : en effet, si on prend par exemple le couple \((2,1)\) qui est élément de \(F\), alors \((-1)(2,1) = (-2, -1)\) n'est pas élément de \(F\).