Somme de 2 sous-espaces vectoriels : Définition et théorème
Comme la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas en général un sous-espace vectoriel, il est utile de connaître les sous-espaces vectoriels qui contiennent ces deux sous-espaces vectoriels, et en particulier le plus petit d'entre eux (au sens de l'inclusion).
Définition : Définition de la somme de deux sous-espaces
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous espaces vectoriels d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), l'ensemble de tous les éléments \(x + y\) où \(x\) est un élément de \(F\) et \(y\) un élément de \(G\), est appelé somme des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\). Cette somme est notée \(F+G\) :
\(F+G = \{ z \in E / \exists x \in F \textrm{ et } \exists y \in G : z = x + y\}\)
Remarque :
L'ensemble \(F+G\) contient \(F\) et contient \(G\) : en effet tout élément \(x\) de \(F\) s'écrit \(x = x + 0\) avec \(x\) appartenant à \(F\) et \(0\) appartenant à \(G\) (puisque \(G\) est un sous-espace vectoriel), donc \(x\) appartient à \(F+G\). De même pour un élément de \(G\).
Théorème : Théorème de structure de la somme de deux sous-espaces vectoriels
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), alors \(F + G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Le sous-espace vectoriel \(F + G\) de \(E\), somme des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\), est le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(F \cup G\), réunion de \(F\) et de \(G\); c'est donc le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(F\) et \(G\).
Preuve : Preuve du 1 : F+G est un sous-espace vectoriel
Il suffit de vérifier que\(F + G\) n'est pas vide et que \(F + G\) possède la propriété :
\(\forall u \in F + G, \forall u' \in F + G, \forall (\lambda, \lambda') \in \mathbf K^2 : \lambda u + \lambda' u' \in F + G\)
L'ensemble \(F+G\) n'est pas vide car il contient tout \(F\) et il contient tout \(G\).
Soient \(u\) et \(u'\) des éléments de \(F+G\), il existe alors deux éléments de \(F\), \(x\) et \(x'\), et deux éléments de \(G, y\) et \(y\)', tels que \(u = x+y\) et \(u' = x' + y'\).
Soient \(\lambda\) et \(\lambda'\) des scalaires. En utilisant les axiomes des espaces vectoriels, on obtient :
\(\lambda u + \lambda'u' = \lambda(x + y) + \lambda'(x' + y') = (\lambda x + \lambda' x') + (\lambda y + \lambda' y')\)
Comme \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels :
\(\lambda x + \lambda'x' \in F\) et \(\lambda y + \lambda'y' \in G \textrm{ donc } \lambda u + \lambda'u' \in F + G\)
Preuve : Preuve du 2
D'après la remarque précédente et la partie 1 du théorème, \(F + G\) est un sous espace vectoriel contenant \(F \cup G\).
Il reste à démontrer que tout sous-espace vectoriel contenant \(F \cup G\) contient aussi \(F + G\).
Considérons \(H\), un sous-espace vectoriel de E contenant \(F \cup G\), et u un élément quelconque de \(F + G\).
\(\forall u \in F + G, \exists v \in F\) et \(\exists w \in G \textrm{ tels que }u = v + w\)
L'élément \(u\) est donc la somme d'un élément \(v\) de \(F\) et d'un élément \(w\) de \(G\).
Les éléments \(v\) et \(w\) appartiennent à \(F \cup G\) , donc ils appartiennent aussi à \(H\), et comme \(H\) est un sous-espace vectoriel, l'élément \(v + w\) appartient à \(H\) donc \(u = v + w\) est un élément de \(H\). Donc \(H\) contient \(F + G\).
Complément : Cas particulier
Somme de deux sous-espaces engendrés par des parties finies
Propriété : Propriété de génération de la somme
Si \(F = \mathrm{Vect} \{v_1, v_2, ... , v_p\}\) et \(G = \mathbf{\mathrm{Vect}} \{w_1, w_2, ... , w_n\}\) alors \(F+G = \mathbf{\mathrm{Vect}} \{v_1, v_2, ... , v_p, w_1, w_2, ... , w_n\}\)
La preuve est laissée au lecteur à titre d'exercice
(ou consulter la ressource : "Sous-espaces vectoriels de type fini").