Généralisation à plusieurs sous-espaces vectoriels

La notion de somme de deux sous-espaces vectoriels d'un vectoriel se généralise en la notion de somme de plusieurs sous-espaces.

Définition : Définition de la somme de n sous-espaces vectoriels

Si sont n sous-espaces vectoriels d'un vectoriel , l'ensemble de toutes les sommes où, pour tout entier compris entre 1 et l'élément appartient à , est appelé somme des sous-espaces et est noté :

ou

Théorème : Théorème de structure de la somme de n sous-espaces vectoriels

La somme des sous-espaces , compris entre 1 et , est un sous-espace vectoriel de et c'est le sous-espace engendré par la réunion de tous les .

La démonstration est analogue au cas .

Exemple : Exemple immédiat

Considérons dans les trois sous-espaces vectoriels , et , engendrés respectivement par et , alors tout élément de la somme s'écrit sous la forme et donc :

Légende :
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