Théorème de structure - Notation

Soit et deux vectoriels. Le produit cartésien va pouvoir être muni lui aussi d'une structure de vectoriel.

Remarque

Il est habituel, lorsqu'on considère un vectoriel , de noter sa loi interne par le signe +, et sa loi externe par juxtaposition du scalaire et du vecteur.

Lorsqu'on considère deux ou plusieurs espaces vectoriels, leurs lois internes et externes peuvent être des lois totalement différentes (bien qu'ayant les mêmes propriétés), par exemple la somme dans (notée +) n'est pas la même que celle (notée + aussi) de l'espace vectoriel des fonctions réelles.

Aussi, momentanément et pour une meilleure compréhension des définitions et des démonstrations, les signes + vont être différenciés par des couleurs et les lois externes vont être matérialisées par des signes de couleurs différentes.

Soit donc et deux espaces vectoriels sur le même corps , muni de sa loi de composition interne notée + et de sa loi de composition externe notée , et muni de sa loi de composition interne notée + et de sa loi de composition externe notée

Le produit cartésien peut alors être muni lui aussi :

  • d'une loi de composition interne, notée +, définie par :

    ,

  • d'une loi de composition externe, notée , de domaine d'opérateurs , définie par :

    ,

Théorème : Théorème de structure

Le produit cartésien des deux vectoriels et , muni des deux lois précédentes, qui découlent de celles de et de , est un vectoriel.

Notation

Dans le cas particulier où , le produit est noté .

On retrouve le vectoriel , le vectoriel . De même est un vectoriel puisque est un vectoriel.

Légende :
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