Constructions

Axiomes relatifs à la loi interne :

• Associativité

  Pour tous vecteurs \((x,y), (x', y')\) et \((x'', y'')\) de \(E \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(\begin{array}{rcl}((x,y) + (x', y') + (x'',y'')) &=& (x + x', y + y') + (x'', y'')\\&=& ((x+x') + x'', (y + y') + y'')\\&=& (x + (x' + x''),y + (y'+y''))\\&=& (x,y) + (x' + x'', y' + y'')\\&=& (x,y) + ((x',y')) + (x'',y''))\end{array}\)

  car les lois + de \(E\) et de \(F\) sont associatives.

• Commutativité

  Pour tous vecteurs \((x,y)\) et \((x',y')\) de \(E \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(\begin{array}{rcl}(x,y) + (x',y') &=& (x + x', y + y')\\&=& (x' + x, y'+y)\\&=& (x',y') + (x,y)\end{array}\)

  car les lois + de \(E\) et de \(F\) sont commutatives.

• Elément neutre

  En notant \(0_E\) l'élément neutre de \(E\) et \(0_F\) celui de \(F\), l'élément neutre de \(E \times F\) est \((0_E, 0_F)\), en effet pour tout élément \((x,y)\) de \(E \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \((0_E, 0_F) + (x,y) = (0_E + x, 0_F + y) = (x,y)\)

  \(\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\)et

  \((x,y) + (0_E, 0_F) = (x + 0_E, y + 0_F) = (x,y)\)

  grâce aux propriétés des éléments neutres de \(E\) et \(F\).

• Symétrique

  Tout vecteur \((x,y)\) de \(E \times F\) admet un symétrique qui est \((-x, -y)\), \(-x\) étant le symétrique de \(x\) dans \(E\) et \(-y\) celui de \(y\) dans \(F\); en effet les égalités suivantes sont vérifiées :

  \((x,y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0_E, 0_F)\)

  et de même \((-x, -y) + (x,y) = (0_E, 0_F)\)

Axiomes relatifs à la loi externe :

• Pour tous scalaires \(\lambda\) et  \(\mu\) de \(\mathbf K\) et tout vecteur \((x,y)\) de \(E  \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(\begin{array}{rcl}(\lambda \mu) . (x ,y) &=& ((\lambda \mu) . x, (\lambda \mu) . y)\\&=& (\lambda . (\mu . x), \lambda . (\mu . y))\\&=& \lambda . (\mu . x, \mu . y)\\&=& \lambda (\mu . (x,y))\end{array}\)

• Pour tout élément \((x,y)\) de \(E \times F\), et en notant 1 l'élément neutre de \(\mathbf K\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(1 . (x,y) = (1 . x, 1 . y) = (x,y)\)

Axiomes liant les deux lois : double distributivité :

• Pour tous scalaires \(\lambda\) et \(\mu\) de \(\mathbf K\), et tout vecteur \((x,y)\) de \(E \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(\begin{array}{rcl}(\lambda + \mu) . (x,y) &=& ((\lambda + \mu) . x, (\lambda + \mu) . y)\\&=& (\lambda . x + \mu . x, \lambda . y + \mu . y)\\&=& (\lambda . x, \lambda . y) + (\mu . x, \mu . y)\\&=& \lambda . (x,y) + \mu . (x,y)\end{array}\)

• Pour tout scalaire \(\lambda\) de \(\mathbf K\) et tous vecteurs \((x,y)\) et\( (x',y')\) de \(E \times F\), les égalités suivantes sont vérifiées :

  \(\begin{array}{rcl}\lambda . ((x, y) + (x', y')) &=& \lambda . (x + x', y + y')\\&=& (\lambda . x + \lambda . x', \lambda . y + \lambda . y')\\&=& (\lambda . x, \lambda . y) + (\lambda . x', \lambda . y')\\&=& \lambda . (x,y) + \lambda . (x', y')\end{array}\)

  grâce aux axiomes liant les lois dans \(E\) et \(F\).