Démonstration

Nous allons vérifier les huit axiomes des espaces vectoriels...

Remarque

Toutes les propriétés suivantes proviennent des propriétés des lois définies sur et sur .

Preuve

Axiomes relatifs à la loi interne :

  • Associativité

    Pour tous vecteurs et de , les égalités suivantes sont vérifiées :

    car les lois + de et de sont associatives.

  • Commutativité

    Pour tous vecteurs et de , les égalités suivantes sont vérifiées :

    car les lois + de et de sont commutatives.

  • Elément neutre

    En notant l'élément neutre de et celui de , l'élément neutre de est , en effet pour tout élément de , les égalités suivantes sont vérifiées :

    et

    grâce aux propriétés des éléments neutres de et .

  • Symétrique

    Tout vecteur de admet un symétrique qui est , étant le symétrique de dans et celui de dans ; en effet les égalités suivantes sont vérifiées :

    et de même

Axiomes relatifs à la loi externe :

  • Pour tous scalaires et   de et tout vecteur de , les égalités suivantes sont vérifiées :

  • Pour tout élément de , et en notant 1 l'élément neutre de , les égalités suivantes sont vérifiées :

Axiomes liant les deux lois : double distributivité :

  • Pour tous scalaires et de , et tout vecteur de , les égalités suivantes sont vérifiées :

  • Pour tout scalaire de et tous vecteurs et de , les égalités suivantes sont vérifiées :

    grâce aux axiomes liant les lois dans et .

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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