Equation d'un sous-espace de R^3 engendré par deux vecteurs
Partie
Question
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) engendré par les vecteurs \((1,-1,2)\) et \((2,1,1)\)
Montrer qu'il existe trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~ax+by+cz=0\right\}\)
Aide simple
L'égalité de deux triplets se traduisant par l'égalité de leurs composantes de même rang, écrire l'égalité \((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)\) sous forme de système, \(\alpha\) et \(\beta\) étant les inconnues du système.
Aide méthodologique
Un vecteur \((x,y,z)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)\beta(2,1,1)\).
On cherche à répondre à la question suivante : \(x\), \(y\) et \(z\) étant donnés, à quelle condition peut-on trouver \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)\).
Aide à la lecture
Il s'agit de chercher une caractérisation des triplets \((x,y,z)\) appartenant à \(F\), c'est-à-dire de trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x\), \(y\) et \(z\) pour que le vecteur \((x,y,z)\) appartienne à \(F\).
Solution détaillée
Un vecteur \((x,y,z)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)\).
\((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)\).
\(\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)=(\alpha+2\beta,-\alpha+\beta,2\alpha+\beta)\)
L'égalité de deux triplets se traduisant par l'égalité de leurs composantes de même rang,
trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) vérifiant l'égalité \((x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)\)
revient à résoudre le système \((S)\)
\((S)~\left\{\begin{array}{rcrcr}\alpha&+&2\beta&=&x\\-\alpha&+&\beta&=&y\\2\alpha&+&\beta&=&z\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcll}\alpha&+&2\beta&=&x&\\&&3\beta&=&y+x&L_2\leftarrow L_2+L_1\\&-&3\beta&=&z-2x&L_3\leftarrow L_3-2L_1\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcll}\alpha&+&2\beta&=&x&\\&&3\beta&=&y+x&\\&&0&=&y+z-x&L_3\leftarrow L_3+L_2\end{array}\right.\)
Si \(-x+y+z\ne0\) la dernière équation n'est jamais vérifiée, le système \((S)\) n'a donc pas de solution.
Si \(-x+y+z=0\) la dernière équation est toujours vérifiée et les deux premières équations permettent de trouver \(\alpha\) et \(\beta\).
Le système \((S)\) a donc des solutions si et seulement si \(-x+y+z=0\). L'ensemble \(F\) est donc l'ensemble des triplets \((x,y,z)\) tels que \(-x+y+z=0\).
On dit que \(F\) a pour équation : \(-x+y+z=0\).