Sous-espaces vectoriels de fonctions polynômes
Partie
Question
Soit \(E\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à \(2\), \(F\) et \(G\) les sous-espaces vectoriels de \(E\) suivants :
\(F=\left\{p\in E,p(1)=0\right\}\) et \(G=\{p\in E,~\exists a\in\mathbb R,~~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+ax+a\}\)
Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires.
Aide simple
Montrer d'abord que \(F\cap G=\{0\}\).
Pour cela considérer une fonction polynôme \(p\) dans l'intersection de \(F\) et de \(G\), écrire que :
\(\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+bx+c\), et traduire par des conditions sur \(a\), \(b\), \(c\) le fait que \(p\) appartient à \(F\) et à \(G\).
De même, pour montrer que \(E=F+G\), chercher des conditions sur les coefficients des polynômes \(p\), \(q\) et \(r\), \(p\) appartenant à \(E\), \(q\) appartenant à \(F\) et \(r\) appartenant à \(G\) pour avoir \(p=q+r\).
Aide méthodologique
On peut se servir ici de la propriété caractéristique :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E=F+G\) et \(F\cap G=\{0\}\).
Aide à la lecture
Les vecteurs de \(E\) sont des fonctions polynômes \(p\) de degré inférieur ou égal à \(2\), c'est à dire tels que :
\(\exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+bx+c\)
On veut montrer qu'un tel \(p\) est la somme de deux fonctions polynômes satisfaisant à des contraintes données.
Solution détaillée
Les sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires si et seulement si \(E=F+G\) et \(F\cap G=\left\{0\right\}\).
Montrons que \(F\cap G=\{0\}\).
Soit \(p\) un élément de \(F\cap G\),
\(p\in F\cap G\Leftrightarrow(p(1)=0 \textrm{ et }\exists a\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=ax^2+ax+a)\)
donc \(p(1)=3a=0\) et donc \(p=0\).
Pour montrer que \(E=F+G\), considérons un élément \(p\) de \(E\) :
\(\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma\)
On veut trouver des éléments \(q\) de \(F\) et \(r\) de \(G\) tels que \(p=q+r\) donc tels que :
\(\exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,~\forall x\in\mathbb R,~q(x)=ax^2+bx+c\), et \(q(1)=a+b+c=0\),
et \(\exists d\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~r(x)=dx^2+dx+d\).
On veut donc \(\begin{array}{llcl}\forall x\in\mathbb R,&\alpha x^2+\beta x+\gamma&=&ax^2+bx+c+dx^2+dx+d\\&&=&(a+d)x^2+(b+d)x+c+d\end{array}\)
Il suffit de résoudre le système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}a&&&&&+&d&=&\alpha\\&&b&&&+&d&=&\beta\\&&&&c&+&d&=&\gamma\\a&+&b&+&c&&&=&0\end{array}\right.\)
équivalent au système :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrccr}a&+&&&&&d&=&\alpha&\\&&b&&&+&d&=&\beta&\\&&&&c&+&d&=&\gamma&\\&&&&&&3d&=&\alpha+\beta+\gamma&L_4\leftarrow L_1+L_2+L_3-L_4\end{array}\right.\)
équivalent au système :
\(\left\{\begin{array}{ccccc}d&=&&&\displaystyle{\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}}\\\\c&=&\gamma-d&=&\displaystyle{\frac{-\alpha-\beta+2\gamma}{3}}\\\\b&=&\beta-d&=&\displaystyle{\frac{-\alpha+2\beta-\gamma}{3}}\\\\a&=&\alpha-d&=&\displaystyle{\frac{2\alpha-\beta-\gamma}{3}}\end{array}\right.\)
Nous avons bien trouvé des réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) en fonction de réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) donnés. Donc nous avons bien trouvé pour tout élément \(p\) de \(E\) des éléments \(q\) de \(F\) et \(r\) de \(G\) satisfaisant à \(p=q+r\) :
\(\forall x\in\mathbb R,~\displaystyle{q(x)=\frac{2\alpha-\beta-\gamma}{3}x^2+\frac{-\alpha+2\beta-\gamma}{3}x+\frac{-\alpha-\beta+2\gamma}{3}}\) et \(q(1)=0\)
\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R,~r(x)=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}(x^2+x+1)}\)
et \(p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma=q(x)+r(x)\).