Sous-espaces vectoriels de fonctions réelles
Partie
Question
Soit \(E=F(\mathbb R,\mathbb R)\) l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) et soient \(F\) et \(C\) les sous-espaces vectoriels suivants :
\(F=\{f\in E,~f(0)=0\}\) et
\(C=\{f\in E,~\exists k\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~f(x)=k\}\) (ensemble des applications constantes sur \(\mathbb R\))
Déterminer \(F\cap C\).
Démontrer que \(F\) et \(C\) sont supplémentaires.
Aide détaillée
Pour déterminer \(F\cap C\), traduire les conditions que doit vérifier une fonction \(f\) pour appartenir à cette intersection.
Pour montrer ensuite que \(E=F+C\), supposer que la fonction \(f\) appartenant à \(E\) est la somme de \(g\), élément de \(F\) et de \(h\), élément de \(G\), et chercher comment s'écrivent \(g(x)\) et \(h(x)\) en fonction de \(f(x)\).
Aide méthodologique
Pour montrer que \(F\) et \(C\) sont supplémentaires, on peut se servir ici de la propriété caractéristique :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E=F+G\) et \(F\cap G=\{0\}\).
Aide à la lecture
Les vecteurs de \(E\) sont des fonctions numériques. On veut montrer que toute fonction numérique est la somme d'une fonction s'annulant en \(0\) et d'une fonction constante, et que cette décomposition en somme de telles fonctions est unique.
On devine aussi, grâce à la question 2., que l'intersection de \(F\) et de \(C\) sera réduite au vecteur nul.
Solution détaillée
1. Déterminons \(F\cap C\) :
Considérons une fonction \(f\) appartenant à \(F\cap C\), donc \(f\) appartient à \(F\) et \(f\) appartient à \(C\) :
\((f\in C)\Rightarrow(\exists k\in\mathbb R,\forall x\in\mathbb R,f(x)=k)\)
en particulier \(f(0)=k\)
or \((f\in F)\Rightarrow(f(0)=0)\) donc \(k=0\) ; d'où \(\forall x\in\mathbb R,~f(x)=0\).
Ainsi la fonction \(f\) est nulle et \(F\cap C=\{0\}\).
2. Montrons que \(F\) et \(C\) sont supplémentaires. D'après la propriété caractéristique :
Propriété :
Deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(C\) d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) si et seulement si \(E=F+C\) et \(F\cap C=\{0\}\).
il reste à démontrer que \(E=F+C\).
Soit \(f\) un élément de \(E\).
Cherchons des fonctions \(g\) appartenant à \(F\) et \(h\) appartenant à \(C\) telles que \(f=g+h\).
Les fonctions \(g\) et \(h\) devront donc vérifier les trois conditions :
\(g(0)=0\)
\(\exists k\in\mathbb R,~\forall x\in\mathbb R,~h(x)=k\)
\(\forall x\in\mathbb R,~f(x)=g(x)+h(x)\)
D'où pour tout élément \(x\) de \(\mathbb R\), \(f(x)=g(x)+k\).
Or pour \(x=0\), \(f(0)=g(0)+k\), donc \(k=f(0)\).
Cette recherche nous amène à définir \(g\) et \(h\) par :
Il est immédiat que \(g\) appartient à \(F\), que \(h\) appartient à \(C\), et que \(f=g+h\).
Ceci montre bien que \(E=F+C\).