Caractérisation d'une somme directe par l'écriture du 0
Partie
Question
Montrer que la somme de \(n\) sous-espaces vectoriels \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est directe si et seulement si l'écriture de \(0\) comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\cdots,F_n\) est unique.
Aide simple
Remarquer que \(0\) admet l'écriture \(0=0+0+\cdots+0\), où le \(p\)-ième \(0\) est considéré en tant qu'élément de \(F_p\).
Pour établir la condition suffisante, prendre deux écritures d'un élément \(u\) de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\), comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\).
Aide méthodologique
D'après la définition de somme directe :
La somme de \(n\) sous-espaces vectoriels \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est directe si et seulement si tout élément de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\).
On démontre que la proposition \((P)\) :
Tout élément de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) .
est équivalente à la proposition \((Q)\) :
L'élément \(0\) (qui est un élément de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\)) s'écrit d'une manière unique comme la somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) .
Aide à la lecture
Il s'agit de trouver une nouvelle caractérisation de la somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels, ne faisant intervenir l'écriture que du seul vecteur \(0\).
La somme \(F_1+F_2+\cdots+F_n\) est directe si et seulement si la relation \(0=z_1+z_2+\cdots+z_n\) (où pour tout entier \(p\), \(1\le p\le n\), \(z_p\) appartient à \(F_p\)), entraîne \(z_p=0\).
Solution détaillée
Soit \((P)\) la proposition :
Proposition : Proposition (P)
Tout élément de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) .
et soit \((Q)\) la proposition :
Proposition : Proposition (Q)
L'élément \(0\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) .
Condition nécessaire :
On a bien \((P)\Rightarrow(Q)\) car \(0\) est un élément particulier de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\).
Condition suffisante :
Pour montrer que \((Q)\Rightarrow(P)\), considérons \(u\) un élément de \(F_1+F_2+\cdots+F_n\). Si \(u\) s'écrit de deux manières comme la somme d'éléments de \(F_1,F_2,\ldots,F_n\) :
\(u=z_1+z_2+\cdots+z_n\) où pour tout entier \(p\), \(1\le p\le n\), \(z_p\) appartient à \(F_p\) et
\(u=t_1+t_2+\cdots+t_n\) où pour tout entier \(p\), \(1\le p\le n\), \(t_p\) appartient à \(F_p\), alors
\(0=(z_1-t_1)+(z_2-t_2)+\cdots+(z_n-t_n)\)
or pour tout entier \(p\), \(1\le p\le n\), \(z_p-t_p\) appartient à \(F_p\), et d'après l'hypothèse \((Q)\), \(0\) admet la décomposition unique : \(0=0+0+\cdots+0\), donc pour tout entier \(p\), \(1\le p\le n\), \(z_p=t_p\).
Conclusion : les propositions \((P)\) et \((Q)\) sont bien équivalentes.