Condition nécessaire et suffisante pour une famille d'au moins deux vecteurs
Avant de donner d'autres exemples nous allons donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille finie de vecteurs soit liée, de manière à avoir tous les outils indispensables.
Exemple : Exemple immédiat
Pour \(E =\mathbb R^4\), \(n = 3\) et \(v_1 = (0,1,1,0), v_2 = (1,1,1,0), v_3 = (1,0,0,0)\).
Il est visible que : \(v_2 = v_3 + v_1\). Ces vecteurs sont donc linéairement dépendants.
Dans l'exemple précédent, on peut déduire de l'égalité trouvée la relation suivante :
\(v_2 - v_3 - v_1 = 0\).
Cela signifie que l'on a trouvé une combinaison linéaire nulle des vecteurs \(v_1, v_2, v_3\) dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
D'une manière plus générale, avec les mêmes notations, il est possible de traduire l'énoncé précédent de la manière suivante :
il existe un entier \(p\) compris entre \(1\) et \(n\) et des scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_{p-1}, \alpha_{p+1}, ... , \alpha_n\) tels que :
\(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_{p-1}v_{p-1} + (-1) v_p + \alpha_{p+1}v_{p+1} + ... + \alpha_n v_n = 0\)
Il est possible de traduire qualitativement cette égalité de la manière suivante :
il existe une combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) , égale au vecteur nul et dont au moins un des coefficients est non nul (\(p\) est un entier compris entre \(1\) et \(n\) et le coefficient de \(v_p\), égal à \(-1\), est évidemment non nul)
Cette propriété est donc une condition nécessaire pour que des vecteurs soient linéairement dépendants. En fait, elle est aussi suffisante; ce qui fournit donc une définition équivalente de la notion de dépendance.
Complément : Condition nécessaire et suffisante de dépendance linéaire d'une famille finie de n vecteurs,
Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\), \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(v_1, v_2, ... ,v_n\) des vecteurs de \(E\).
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_n\) sont linéairement dépendants si et seulement si il existe une combinaison linéaire de \(v_1, v_2, ... ,v_n\) égale au vecteur nul avec des coefficients non tous nuls, ce qui peut s'écrire avec les quantificateurs :
\((1) \exists(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf{K}^n - \{ (0,0, ... , 0)\}\) tel que
\(\alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = 0\)
Preuve :
La remarque faite ci-dessus prouve que cette condition est nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante.
Soient donc \(v_1, v_2, ... ,v_n\) des vecteurs de \(E\)
tels qu'il existe \((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf{K}^n - \{ (0,0, ... , 0)\}\)
tel que \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = 0\)
Le n-uplet \((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n)\) étant différent du n-uplet \((0,0, ... , 0)\), une au moins des composantes
de \((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n)\) est non nulle, soit\(\alpha_p\) . L'égalité (1) donne alors :
(2) \(\alpha_pv_p=-\alpha_1v_1-\alpha_2v_2-...-\alpha_{p-1}v_{p-1}-\alpha_{p+1}v_{p+1}- ...-\alpha_nv_n\)
Comme\(\alpha_p\) est un élément non nul du corps \(\mathbf K\), il est inversible et l'égalité ci-dessus implique :
(3) \(v_p=-\frac{\alpha_1}{\alpha_p}v_1-\frac{\alpha_2}{\alpha_p}v_2-...-\frac{\alpha_{p-1}}{\alpha_p}v_{p-1}-\frac{\alpha_{p+1}}{\alpha_p}v_{p+1}- ...-\frac{\alpha_n}{\alpha_p}v_n\)
Le vecteur \(v_p\) est donc combinaison linéaire des vecteurs \(v_1,v_2,...v_{p-1},v_{p+1},...,v_n\).