Partie contenant une partie liée
Propriété :
Toute partie contenant une partie liée est liée.
Preuve :
Soient \(A = \{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) une partie liée et \(A' = \{ v_1, v_2, ... , v_p, ... , v_n\}\) une partie contenant \(A\).
Il existe donc des scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_p\) ,non tous nuls, tels que
\(\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_p v_p = 0\).
Si l'on pose \(\lambda_{p+1} = \lambda_{p+2} = ... = \lambda_n = 0\), on peut écrire l'égalité :
\(\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_p v_p + \lambda_{p +1} v_{p +1} + ... + \lambda_{n} v_{n}= 0\)
Il existe donc une combinaison linéaire nulle, des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p, ... , v_n\) , à coefficients non tous nuls (un des \(\lambda_i\) avec \(i\) compris entre \(1\) et \(p\) est non nul) et par conséquent \(A'\) est une partie liée.
Complément : Conséquences
Toute partie contenant le vecteur \(0_E\) est liée.
Si deux vecteurs d'une famille sont égaux, la famille est liée.