Quelques remarques
Attention :
Bien lire dans la définition "un vecteur est combinaison linéaire des autres" et non pas "tout vecteur est combinaison linéaire des autres".
Exemple :
Soient les vecteurs de \(\mathbb R^2\), \(u = (1,0)\), \(v = (0,1)\) et \(w = (0,0)\).
Il est clair d'après la conséquence de la propriété précédente, que la famille \(\{u, v, w\}\) est liée puisqu'elle contient le vecteur nul.
Cependant le vecteur \(u\) ne peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(v\) et \(w\); en effet s'il existait des scalaires \(\lambda\) et \(\beta\) tels que \(u = \lambda v + \beta w\) cela impliquerait ( \((0,0)\) étant l'élément neutre de l'addition dans \(\mathbb R^2\)) qu'il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \((1,0) = \lambda(0,1)\) , conduisant à la conclusion fausse \(0=1\).
De même v ne peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(u\) et \(w\). Seul le vecteur \(w\) est combinaison des deux autres puisque \(w = 0u + 0v\).
Remarque : Remarque supplémentaire
il résulte immédiatement de la démonstration qui précède que les vecteurs \(u\) et \(v\) ne sont pas linéairement dépendants.
Complément :
Il faut noter qu'il arrive souvent, dans la littérature mathématique, que les rôles joués ici par la définition et la condition nécessaire et suffisante soient inversés; ceci n'a que peu d'importance car dans la pratique les deux formulations sont utilisées autant l'une que l'autre, le choix se faisant en tenant compte du contexte.