Caractérisation d'une famille liée

On a donc défini la notion de partie liée pour tout ensemble fini de vecteurs et on peut énoncer la propriété suivante :

Fondamental : Condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille finie de n vecteurs soit liée (n > ou égale à 1)

Soient un espace vectoriel sur un corps , un entier supérieur ou égal à et des vecteurs de .

Les vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'il existe une combinaison linéaire de égale au vecteur nul avec des coefficients non tous nuls, ce qui peut s'écrire avec les quantificateurs :

tel que

Complément : Vocabulaire

Une relation du type est un élément de est appelée relation de dépendance linéaire

Remarque

La condition nécessaire et suffisante qui vient d'être donnée est souvent plus commode que la définition car, dans son énoncé, aucun vecteur ne joue, à priori, de rôle particulier. Elle est souvent utilisée pour démontrer qu'une famille est liée.

Dans la pratique déterminer si une famille est liée ou non se ramènera donc à déterminer si un système linéaire a ou n'a pas de solution non nulle. Cela est illustré dans le premier exemple qui suit.

Exemple : Exemple 1

Soient les vecteurs de , , .

Les vecteurs sont-ils linéairement dépendants ?

La réponse sera oui si et seulement il existe tels que . Il s'agit donc d'étudier cette équation qui est équivalente à l'égalité et donc au système linéaire :

En fait ce système se réduit à une seule équation :

qui possède une infinité de solutions et en particulier des solutions non nulles,par exemple

, .

Cela signifie que l'on a la relation suivante :

Les vecteurs u et v sont donc linéairement dépendants.

Exemple : Exemple 2

Soient les éléments et de définis par

Les formules de trigonométrie permettent d'écrire par conséquent, les fonctions et coincident en tout point de et sont donc égales, soit .

La fonction h est combinaison linéaire des fonctions et ce qui permet d'affirmer que les trois fonctions forment une famille liée.

Légende :
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