Généralités sur les bases

Si et sont deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un vectoriel, qu'en est-il de leur somme  ?

Pour cela, il est intéressant de considérer d'abord des bases de et de .

Proposition

Soient et deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un vectoriel .

  1. Si est une famille génératrice de , et une famille génératrice de , alors la famille est une famille génératrice de

  2. Si de plus est une base de , et une base de , alors le est une base de si et seulement si la somme de et de est directe.

Preuve : Preuve du 1

Tout élément de est la somme d'un élément de et d'un élément de :

Or est une combinaison linéaire de

et est une combinaison linéaire de

donc est une combinaison linéaire de

donc est bien une partie génératrice de .

Preuve : Preuve du 2

Compte tenu du , il suffit de montrer que, lorsque est une partie libre de , et une partie libre de , est une partie libre de si et seulement si

Démonstration

On suppose donc que est une partie libre de .

Soit un élément de .

Donc , d'où .

Or est une partie libre de . On en déduit que tous les , , sont nuls ainsi que tous les , , donc .

On a bien et .

Réciproquement, on suppose que .

On montre que est une partie libre de .

Soient scalaires vérifiant .

On en déduit :

Or est un élément de et est un élément de .

Donc l'élément appartient à l'intersection de et de . Or puisque la somme de et de est directe.

Donc et .

Comme est une partie libre de , tous les , , sont nuls.

De même est une partie libre de donc tous les , , sont nuls. On montre ainsi que est une partie libre de .

On a bien montré que est une base de si et seulement si la somme de et de est directe.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)