Généralités sur les bases
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, qu'en est-il de leur somme \(F + G\) ?
Pour cela, il est intéressant de considérer d'abord des bases de \(F\) et de \(G\).
Proposition :
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).
Si \(\{ f_1, f_2, ... , f_p\}\) est une famille génératrice de \(F\), et \(\{g_1, g_2, ... , g_q\}\) une famille génératrice de \(G\), alors la famille \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une famille génératrice de \(F + G\)
Si de plus \((f_1, f_2, ..., f_p )\) est une base de \(F\), et \((g_1, g_2, ..., g_q )\) une base de \(G\), alors le \((p+q)\textrm{-uplet}\) \((f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q)\) est une base de \(F + G\) si et seulement si la somme de \(F\) et de \(G\) est directe.
Preuve : Preuve du 1
Tout élément \(u\) de \(F + G\) est la somme d'un élément \(v\) de \(F\) et d'un élément \(w\) de \(G\) :
\(u = v + w\)
Or \(v\) est une combinaison linéaire de \(\{ f_1, f_2, ... , f_p\}\)
et \(w\) est une combinaison linéaire de \(\{g_1, g_2, ... , g_q\}\)
donc \(u\) est une combinaison linéaire de \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\)
donc \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est bien une partie génératrice de \(F + G\).
Preuve : Preuve du 2
Compte tenu du \(1\), il suffit de montrer que, lorsque \(\{ f_1, f_2, ... , f_p\}\) est une partie libre de \(F\), et \(\{g_1, g_2, ... , g_q\}\) une partie libre de \(G\),\( \{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(F + G\) si et seulement si \(F \cap G = \{0\}\)
Démonstration :
On suppose donc que \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(F + G\).
Soit \(x\) un élément de \(F \cap G \).
\(x \in F \Rightarrow \exists(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_p) \in \mathbf K^p / x = \alpha_1f_1 + \alpha_2f_2 + ... + \alpha_pf_p\)
\(x \in F \Rightarrow \exists(\beta_1, \beta_2, ... , \beta_q) \in \mathbf K^q / x = \beta_1g_1 + \beta_2g_2 + ... + \beta_qg_q\)
Donc \(x \in F \cap G \Rightarrow \alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p = \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + ... + \beta_q g_q\), d'où \(\alpha_1f_1 + \alpha_2f_2 + ... + \alpha_pf_p - \beta_1g_1 - \beta_2g_2 - ... - \beta_qg_q = 0\).
Or \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(F + G\). On en déduit que tous les \(\alpha_k\), \(1 \le k \le p\), sont nuls ainsi que tous les \(B_1\), \(1 \le l \le q\), donc \(x = 0\).
On a bien \(F \cap G = \{0\}\) et \(F + G = F \oplus G\).
Réciproquement, on suppose que \(F \cap G = \{0\}\).
On montre que \(\{ f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(F + G\).
Soient \(p + q\) scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_p, \beta_1, \beta_2, ... , \beta_q\) vérifiant \(\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p + \beta_1 g_1 + \beta_2 g_2 + ... + \beta_q g_q = 0\).
On en déduit : \(\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p = - \beta_1 g_1 - \beta_2 g_2 - ... - \beta_q g_q\)
Or \(\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p\) est un élément de \(F\) et \(- \beta_1 g_1 - \beta_2 g_2 - ... - \beta_q g_q\) est un élément de \(G\).
Donc l'élément \(\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p = - \beta_1 g_1 - \beta_2 g_2 - ... - \beta_q g_q\) appartient à l'intersection de \(F\) et de \(G\). Or \(F \cap G = \{0\}\) puisque la somme de \(F\) et de \(G\) est directe.
Donc \(\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + ... + \alpha_p f_p = 0\) et \(- \beta_1 g_1 - \beta_2 g_2 - ... - \beta_q g_q = 0\).
Comme \(\{ f_1, f_2, ..., f_p\}\) est une partie libre de \(F\), tous les \(\alpha_k\), \(1 \le k \le p\), sont nuls.
De même \(\{g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(G\) donc tous les \(\beta_l\), \(1 \le k \le q\), sont nuls. On montre ainsi que \(\{ f_1, f_2, ..., f_p, g_1, g_2, ..., g_q\}\) est une partie libre de \(F + G\).
On a bien montré que \((f_1, f_2, ..., f_p, g_1, g_2, ..., g_q)\) est une base de \(F + G\) si et seulement si la somme de \(F\) et de \(G\) est directe.