Exemple

Soit , on a vu dans l'exemple précédent que

et .

Le sous-espace est de dimension .

Pour construire un supplémentaire de , donc trouver tel que , il suffit de remarquer que ce supplémentaire est forcément de dimension (voir le théorème sur la dimension d'une somme directe), donc qu'une base de n'a qu'un élément qu'on note , et que doit être une base de .

N'importe quel élément de , n'appartenant pas à (donc forcément non nul) convient :

En effet soit n'appartenant pas à , alors donc la somme est directe, sa dimension est alors égale à , donc .

Le sous-espace est bien un supplémentaire de .

Exemple : Rappel de l'exemple précédent

Soient et les sous-espaces vectoriels de suivants :

et

et .

On a montré que .

Remarque

On peut choisir pour n'importe quel triplet ne vérifiant pas l'égalité . Il existe une infinité de tels triplets non colinéaires, ce qui prouve l'existence d'une infinité de supplémentaires de .

Légende :
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