Exemple
Soit \(F := \{ (x,y,z) \in \mathit{\mathbb R}^3 / 2x - 3y + z = 0\}\), on a vu dans l'exemple précédent que
\(F = \mathrm{Vect}(\{ u,v\})\) où \(u = (1,1,1)\) et \(v = (2,1,-1)\).
Le sous-espace \(F\) est de dimension \(2\).
Pour construire un supplémentaire de \(F\), donc trouver \(G\) tel que \(F \oplus G = \mathbb R^3\), il suffit de remarquer que ce supplémentaire est forcément de dimension \(1\) (voir le théorème sur la dimension d'une somme directe), donc qu'une base de \(G\) n'a qu'un élément qu'on note \(w\), et que \((u,v,w)\) doit être une base de \(\mathbb R^3\).
N'importe quel élément de \(\mathbb R^3\), n'appartenant pas à \(F\) (donc forcément non nul) convient :
En effet soit \(w\) n'appartenant pas à \(F\), alors \(F \cap \mathbb Rw = \{0\}\) donc la somme \(F + \mathbb Rw\) est directe, sa dimension est alors égale à \(3\), donc \(F \oplus \mathbb Rw = E\).
Le sous-espace \(\mathbb Rw\) est bien un supplémentaire de \(F\).
Exemple : Rappel de l'exemple précédent
Soient \(F\) et \(G\) les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F := \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 / 2x - 3y + z = 0\}\) et
\(G = \mathrm{Vect}(\{ u,v\})\) où \(u = (1,1,1)\) et \(v = (2,1,-1)\).
On a montré que \(F = G\).
Remarque :
On peut choisir pour \(w\) n'importe quel triplet \((x,y,z) \in \mathbb R^3\) ne vérifiant pas l'égalité \(2x - 3y + z =0\). Il existe une infinité de tels triplets non colinéaires, ce qui prouve l'existence d'une infinité de supplémentaires de \(F\).