Dimension d'une somme et d'une somme directe

De la proposition précédente résulte le théorème suivant :

Théorème

Soient et deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un vectoriel . Alors la somme est un sous-espace vectoriel de type fini de et sa dimension est inférieure ou égale à la somme des dimensions de et de .

La dimension de est égale à la somme des dimensions de et de si et seulement si la somme est directe.

Preuve

Soient et des bases de et de .

D'après la proposition précédente D'après la proposition précédente , donc est de type fini et sa dimension est inférieure ou égale au nombre d'éléments de la famille donc inférieure ou égale à

Donc .

De plus,

  • Si la somme est directe, alors est (d'après la proposition précédente) une base de .

    Donc la dimension de est égale à .

  • Réciproquement, si la dimension de est égale à , alors la famille génératrice , qui a éléments, est une famille génératrice minimale de , donc détermine une base de .

    Ceci entraîne que est directe (toujours d'après la proposition précédente).

Légende :
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