Dimension (niveau 1)
Le test comporte 4 questions :
Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4
Reconnaître qu'un système de vecteurs de P3(R) est une base de P3(R)
Décider si une famille de vecteurs de P3(R) détermine une base de P3(R)
Calculer la dimension de sous-espaces de R^3
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4

Soit , , est un sous-espace de .

Trouver une base de et en déduire sa dimension.

Reconnaître qu'un système de vecteurs de P3(R) est une base de P3(R)

Soit l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré au plus .

1. Donner, sans démonstration, la dimension de .

2. Dans l'espace vectoriel , montrer que les fonctions

déterminent une base.

Faut-il expliciter la fonction polynôme au moyen

de pour le prouver ?

Décider si une famille de vecteurs de P3(R) détermine une base de P3(R)

Soit l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré au plus 3.

1. Soient les éléments de définis par : pour tout réel ,

Le quadruplet est-il une base de ?

2. Si la réponse à la question 1 est positive, décomposer la fonction : dans la base .

Calculer la dimension de sous-espaces de R^3

Soit un réel, on appelle le sous-espace vectoriel de engendré par

, et .

Déterminer la dimension de suivant les valeurs de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Construire une base d'un sous-espace vectoriel de R^4

Soit .

appartient à si et seulement si ,

c'est-à-dire si et seulement si ou .

Les vecteurs sont éléments de et en constituent une famille génératrice.

On vérifie facilement qu'elle est libre.

En effet : soient trois réels tels que ,

on a alors .

Les trois réels sont donc nuls.

Conclusion : est donc une base de et .

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Reconnaître qu'un système de vecteurs de P3(R) est une base de P3(R)

1.

2. Montrons que sont linéairement indépendants.

Soit la base canonique de .

Soient quatre réels tels que (1)

, , ,

car est une famille libre de .

sont donc linéairement indépendants. L'espace vectoriel a pour dimension 4.

Les quatre fonctions déterminent donc une base de .

Pour pouvoir conclure il était donc inutile d'expliciter la fonction polynôme au moyen de .

Remarque

La fonction polynôme s'exprime au moyen de de la façon suivante :

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Décider si une famille de vecteurs de P3(R) détermine une base de P3(R)

1. Montrons que la famille est libre.

Soient des réels tels que .

Alors, pour tout réel ,

En particulier :

- si , donc ,

- si , donc ,

- si ,

- et enfin si , .

La famille est donc libre, elle possède 4 éléments, or , elle détermine donc une base de .

2. On cherche donc des réels tels que , c'est-à-dire tels que, pour tout réel ,

étant une base de , les quatre réels existent et sont uniques.

En utilisant , on obtient .

D'où .

Conclusion : .

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Calculer la dimension de sous-espaces de R^3
Remarque

Si , donc .

Recherchons si la famille est libre quand .

Soient trois réels tels que . Les réels sont solutions du système suivant :

(Pour obtenir le troisième système, on a pu simplifier par car )

Si , le système admet pour solution unique le triplet . La famille est donc libre donc .

Si , le triplet est solution du système , , la famille est donc liée.

Dans ce cas et n'ont pas leurs composantes proportionnelles, ils sont donc linéairement indépendants, d'où .

Conclusion : , , si et , .

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/35
Seuil critique :24
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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