Calculer la dimension de sous-espaces de R^3

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(a\) un réel, on appelle \(E_a\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) engendré par

\(v_1=(1,1,a)\), \(v_2=(1,a,1)\) et \(v_3=(a,1,1)\).

Déterminer la dimension de \(E_a\) suivant les valeurs de \(a\).

Solution

Remarque

Si \(a=1\), \(v_1=v_2=v_3\) donc \(\dim E_1=1\).

Recherchons si la famille \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est libre quand \(a\neq1\).

Soient \(\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3\) trois réels tels que \(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0\). Les réels \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3=0\) sont solutions du système \((S)\) suivant :

\(\begin{array}{rcrcl}&&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&a\lambda_3&=&0\\\lambda_1&+&a\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\\a\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\end{array}\right.}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\\&&(a-1)\lambda_2&+&(1-a)\lambda_3&=&0\\&&(1-a)\lambda_2&+&(1-a^2)\lambda_3&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&-&\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&+&(1+a)\lambda_3&=&0\end{array}\right.}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\lambda_1&+&\lambda_2&+&\lambda_3&=&0\\&&\lambda_2&-&\lambda_3&=&0\\&&&&(2+a)\lambda_3&=&0\end{array}\right.}\end{array}\)

(Pour obtenir le troisième système, on a pu simplifier par \(1-a\) car \(a\neq1\))

Si \(a\neq-2\), le système \((S)\) admet pour solution unique le triplet \((0,0,0)\). La famille \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est donc libre donc \(\dim E_a=3\).

Si \(a=-2\), le triplet \((1,1,1)\) est solution du système \((S)\), \(v_3=-v_1-v_2\), la famille \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est donc liée.

Dans ce cas \(v_1=(1,1,-2)\) et \(v_2=(1,-2,1)\) n'ont pas leurs composantes proportionnelles, ils sont donc linéairement indépendants, d'où \(\dim E_{-2}=2\).

Conclusion : \(\dim E_1=1\), \(\dim E_{-2}=2\), si \(a\neq1\) et \(a\neq-2\), \(\dim E_a=3\).