Dimension (niveau 2)
Le test comporte 3 questions :
Vérifier que deux systèmes de vecteurs engendrent le même sous-espace
Calculer la dimension d'une intersection et illustrer le théorème de la base incomplète dans R^4
Rendre minimale une famille génératrice
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Vérifier que deux systèmes de vecteurs engendrent le même sous-espace

Dans , soit le sous-espace engendré par et ,

et le sous-espace engendré par et .

Montrer que , en donner la dimension.

Déterminer une base de contenant les vecteurs et .

Calculer la dimension d'une intersection et illustrer le théorème de la base incomplète dans R^4

Dans , on considère les deux sous-espaces vectoriels (respectivement )

d'équations (respectivement ).

Caractériser le sous-espace , en donner une base .

En déduire les dimensions des sous-espaces , ,et .

Compléter la base de en une base de puis de .

Rendre minimale une famille génératrice

On considère dans ,

le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs

et le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs .

Trouver une base et la dimension de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Vérifier que deux systèmes de vecteurs engendrent le même sous-espace

Montrons d'abord que et appartiennent à .

On cherche donc et des réels tels que d'où le système :

d'où .

De même on démontre que : , d'où est inclus dans ,

puis, et , d'où est inclus dans ,

on a donc .

La famille est, par définition, génératrice de . Elle est libre car les composantes des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Elle détermine donc une base de . D'où .

Remarque

pour montrer l'égalité de et , on aurait pu utiliser leur dimension.

En effet on a démontré et on démontre de même . L'inclusion est alors suffisante pour conclure que et sont égaux.

Complétons la famille libre par .

Soient , , trois réels tels que .

Les réels sont solutions du système :

La famille est donc libre.

Elle a trois éléments, or , elle détermine donc une base de .

Remarque

n'importe quel vecteur n'appartenant pas à convient pour compléter .

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Calculer la dimension d'une intersection et illustrer le théorème de la base incomplète dans R^4

Soit un vecteur de .

est donc l'ensemble des vecteurs de la forme avec et réels.

C'est donc l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs et .

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs composantes ne sont pas proportionnelles. Ils déterminent donc une base de .

Pour deux sous-espaces et d'un espace vectoriel de type fini : ,

l'égalité ayant lieu si, et seulement si, .

Le sous-espace est inclus strictement dans ,

et le sous-espace est inclus strictement dans .

On a donc .

On a les mêmes résultats pour .

On sait que et donc .

D'après le théorème de la base incomplète, pour compléter la base de en une base de , il suffit d'un vecteur de qui n'appartient pas à ;

par exemple et .

Remarque

Notons que .

En effet, donc est inclus strictement dans d'où .

Et, comme , , étant un sous-espace de .

Notons aussi que est une base de .

En effet est une base de et n'appartient pas à .

Ces quatre vecteurs sont donc linéairement indépendants et .

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Rendre minimale une famille génératrice

La famille est génératrice de , mais elle n'est pas libre car elle possède 5 éléments et la dimension de est égale à 4.

Etudions l'indépendance de la famille .

Soit des réels tels que alors

Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient les systèmes équivalents suivants :

dont l'unique solution est .

La famille est donc libre ; c'est une famille libre de , donc .

Or étant un sous-espace vectoriel de , .

Donc et est une base de .

Remarque

est un sous-espace vectoriel de de dimension 4 donc .

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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