Espace vectoriel de type fini

Soit \(v=(x,y,z,t)\) un vecteur de \(\mathbb{R}^4\).

\(v\in H_1\cap H_2\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\y+t=0\end{array}\right.\)

\(H_1\cap H_2\) est donc l'ensemble des vecteurs de la forme \((\lambda,\mu,-\lambda,-\mu)\) avec \(\lambda\) et \(\mu\) réels.

C'est donc l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(v_1=(1,0,-1,0)\) et \(v_2=(0,1,0,-1)\).

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs composantes ne sont pas proportionnelles. Ils déterminent donc une base de \(H_1\cap H_2\).

Pour deux sous-espaces \(F\) et \(G\) d'un espace vectoriel de type fini : \(F\subset G\Rightarrow\dim F\le\dim G\),

l'égalité ayant lieu si, et seulement si, \(F=G\).

Le sous-espace \(H_1\) est inclus strictement dans \(\mathbb{R}^4\),

et le sous-espace \(H_1\cap H_2\) est inclus strictement dans \(H_1\).

On a donc \(\dim H_1\subset H_2<\dim H_1<\textrm{dim }\mathbb{R}^4\).

On a les mêmes résultats pour \(H_2\).

On sait que \(\textrm{dim }\mathbb R^4=4\) et \(\dim H_1\cap\dim H_2=2\) donc \(\dim H_1=\dim=H_2=3\).

D'après le théorème de la base incomplète, pour compléter la base \(B=(v_1 ,v_2)\) de \(H_1\cap H_2\) en une base de \(H_i(i=1,2)\), il suffit d'un vecteur \(u_i\) de \(H_i\) qui n'appartient pas à \(H_1\cap H_2\);

par exemple \(u_1=(1,0,0,-1)\) et \(u_2=(1,0,0,1)\).