Rappel de notations
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(A\) un sous-ensemble de \(E, B\) un sous-ensemble de \(F\), et \(f\) une application de \(E\) dans \(F\). L'ensemble des images par \(f\) des éléments de \(A\), appelé " image de \(A\) par \(f "\), (ou image directe de \(A\) par\( f\)), est noté \(f(A)\).
L'ensemble des éléments de \(E\) qui ont leur image par \(f\) dans\( B\), appelé " image réciproque de \(B\) par \(f"\), est noté \(f^{-1}(B)\)
\(\begin{array}{ccl}f(A) &=& \{ y \in F / \exists x \in A, f(x) = y \} \\ f^{-1} (B) &= &\{ x \in E / f(x) \in B\}\end{array}\)
Remarque : Remarque 1
La notation \(f^{-1} (B)\) est une notation de la théorie des ensembles, \(f^{-1} (B)\) existe pour toute partie \(B\) de \(F\) et pour toute fonction \(f\) même si \(f\) n'est pas bijective et donc n'admet pas d'application réciproque.
Remarque : Remarque 2
\(f(A)\) est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée et \(f^{-1} (B)\) est un sous-ensemble de l'ensemble de départ.
Dans toute la suite, \(E\) et \(F\) désigneront des \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels.