Application linéaire

Soit \(f\) une application linéaire du \(\mathbf K \textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans le \(\mathbf K \textrm{-espace}\) vectoriel \(F\).

1. Si \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors \(f(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).

2. Si \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(F\), alors \(f^{-1}(B)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

Comme \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), il contient l'élément \(0_E\), donc \(f(0_E)\) (qui est égal à \(0_F\)) appartient à \(f(A)\), d'où \(f(A)\) est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple \((y_1, y_2)\) d'éléments de \(f(A)\), et pour tout couple de scalaires \((\lambda_1, \lambda_2)\), l'élément \(y = \lambda_1y_1 + \lambda_2y_2\) appartient à \(f(A)\).

En effet :

\(y_1 \in f(A) \Rightarrow \exists x_1 \in A, f(x_1) = y_1\)

\(y_2 \in f(A) \Rightarrow \exists x_2 \in A, f(x_2) = y_2\)

donc \(y = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)\),

et comme \(f\) est linéaire : \(y = f(\lambda_1x_1 + \lambda_2 x_2)\).

Or \(\lambda_1x_1 + \lambda_2 x_2\) est un élément de \(A\), car \(A\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), donc \(y\) est bien un élément de \(f(A)\).

Comme \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(F\), il contient l'élément \(0_F\), or \(0_F = f(0_E)\), donc \(0_E\) appartient à \(f^{-1}(B)\), d'où \(f^{-1}(B)\) est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple \((x_1, x_2)\) d'éléments de \(f^{-1}(B)\), et pour tout couple de scalaires \((\lambda_1, \lambda_2)\), l'élément \(x = \lambda_1x_1 + \lambda_2x_2\) appartient à \(f^{-1}(B)\).

En effet, comme \(f\) est linéaire, \(f(x) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)\) or

\(x_1  \in f^{-1}(B) \Rightarrow f(x_1) \in B\)

\(x_2  \in f^{-1}(B) \Rightarrow f(x_2) \in B\)

Comme \(B\) est un sous-espace vectoriel de \(F\), alors \(f(x) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2f(x_2)\) appartient à \(B\), on en déduit que \(x\) est élément de \(f^{-1}(B)\).