Structure-Exemple
Proposition : Structure de l'image directe et de l'image réciproque

Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel .

  1. Si est un sous-espace vectoriel de , alors est un sous-espace vectoriel de .

  2. Si est un sous-espace vectoriel de , alors est un sous-espace vectoriel de .

Preuve : Preuve du 1

Comme est un sous-espace vectoriel de , il contient l'élément , donc (qui est égal à ) appartient à , d'où est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple d'éléments de , et pour tout couple de scalaires , l'élément appartient à .

En effet :

donc ,

et comme est linéaire : .

Or est un élément de , car est un sous-espace vectoriel de , donc est bien un élément de .

Preuve : Preuve du 2

Comme est un sous-espace vectoriel de , il contient l'élément , or , donc appartient à , d'où est non vide.

Ensuite on montre que pour tout couple d'éléments de , et pour tout couple de scalaires , l'élément appartient à .

En effet, comme est linéaire, or

Comme est un sous-espace vectoriel de , alors appartient à , on en déduit que est élément de .

Exemple

Soient l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles et le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à .

Soit l'application " dérivée " (c'est un endomorphisme de ), l'image de par , pour , est , et l'image réciproque de par d est   :

Deux cas particuliers sont importants : le cas où est l'espace vectoriel tout entier, , et le cas où est réduit à l'élément nul, .

Le paragraphe suivant traite de ces cas particuliers...

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)