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Applications linéaires et sous-espaces
Le test comporte 4 questions :
Tester la linéarité d'une application (1)
Tester la linéarité d'une application (2)
Composer des applications linéaires
Étudier une application linéaire de R^3 dans R^2
La durée indicative du test est de 42 minutes.
Commencer
Tester la linéarité d'une application (1)

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires ?

Donner une justification pour celles qui ne le sont pas.

Tester la linéarité d'une application (2)

On considère l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur . On définit sur quatre applications :

Dans chaque cas, tester la linéarité de l'application .

Composer des applications linéaires

Soit des espaces vectoriels sur un corps ( ou ), une application linéaire de dans et une application linéaire de dans .

  1. Montrer que est l'application nulle si et seulement si l'image de est incluse dans le noyau de .

  2. Construire un exemple où , et .

Étudier une application linéaire de R^3 dans R^2

Soit l'application linéaire de dans définie par

  1. Déterminer .

  2. L'application est-elle injective ?

  3. Montrer que est surjective.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Tester la linéarité d'une application (1)

Barème : 6pts pour les quatre applications linéaires et 4pts pour les deux applications non linéaires.

On rappelle qu'une application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel est linéaire si et seulement si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

quels que soient les vecteurs et de et le scalaire , on a et .

Vérifions que l'application est linéaire.

Soient deux vecteurs de et un réel alors

donc ainsi .

donc ainsi .

Conclusion l'application est linéaire.

De la même façon on démontre que les applications , et sont linéaires.

L'application n'est pas linéaire car .

L'application n'est pas linéaire car par exemple, et . On aurait aussi pu constater , donc .

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Tester la linéarité d'une application (2)

Barème: compter 2pts, 2pts, 3pts et 3pts, successivement pour chaque fonction.

On rappelle qu'une application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel est linéaire si et seulement si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

quels que soient les vecteurs et de et le scalaire , on a et .

L'application est linéaire car :

et

L'application est linéaire car : et .

L'application n'est pas linéaire car : .

Si est une fonction polynôme, la fonction , notée , est définie par : . n'est pas une fonction polynôme donc est à valeurs dans , espace vectoriel des fonctions réelles.

L'application est linéaire car : et .

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Composer des applications linéaires

Barème : 2pts pour la question 1 et 3pts pour la question 2.

  1. Utilisons les équivalences logiques,

  2. Voici un exemple :

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Étudier une application linéaire de R^3 dans R^2

Barème : 4pts pour la première question, 2pts pour deuxième et 4pts pour la troisième.

  1. Par définition est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par est nulle, c'est donc l'ensemble des tels que donc tels que .

    On obtient donc :

    Donc est le sous-espace vectoriel de engendré par le vecteur .

  2. D'après la caractérisation des applications linéaires injectives, une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul. Donc d'après la première question, l'application n'est pas injective.

  3. On démontre que est surjective, c'est-à-dire qu'on démontre que tout élément de admet un antécédent par :

    soit un élément de , il s'agit de trouver un élément de dont l'image par soit , donc tel que . Cela revient à résoudre le système suivant:

    qui est équivalent à :

    Donc admet comme antécédent n'importe quel vecteur de la forme .

    Par exemple pour , on obtient : .

Remarque

l'ensemble des antécédents du vecteur est l'ensemble

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/35
Seuil critique :24
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :42 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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