Tester la linéarité d'une application (2)
Durée : 12 mn
Note maximale : 10
Question
On considère \(P\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes sur \(\mathbb R\). On définit sur \(P\) quatre applications :
\(\left[\begin{array}{rccl}f_1 :& P&\to& \mathbb R\\ &p &\mapsto& p(1)-p(0)\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_2 :& P&\to& P\\ &p &\mapsto& p' \textrm{ (dérivée)}\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_3 :& P&\to& P\\ &p &\mapsto& 2p+1 \textrm{ ( où (2p+1)(x) = 2p(x)+1) )}\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{rccl}f_4 :& P&\to& F(\mathbb R,\mathbb R)\\ &p &\mapsto& T.p \textrm{ ( où T(x) = }e^x )\end{array}\right.\)
Dans chaque cas, tester la linéarité de l'application \(f_i\).
Solution
Barème: compter 2pts, 2pts, 3pts et 3pts, successivement pour chaque fonction.
On rappelle qu'une application \(f\) d'un espace vectoriel \(E\) dans un espace vectoriel \(F\) est linéaire si et seulement si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
quels que soient les vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) et le scalaire \(\lambda\), on a \(f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(f(\lambda u)=\lambda f(u)\).
L'application \(f_1\) est linéaire car :
\((p+q)(1)-(p+q)(0)=[p(1)-p(0)]+[q(1)-q(0)]\) et \((\lambda p)(1)-(\lambda p)(0)=\lambda[p(1)-p(0)]\)
L'application \(f_2\) est linéaire car : \((p+q)'=p'+q'\) et \((\lambda p)'=\lambda p'\).
L'application \(f_3\) n'est pas linéaire car : \(f_3(0)=1\neq0\).
Si \(p\) est une fonction polynôme, la fonction \(f_4(p)\), notée \(g\), est définie par : \(\forall x\in\mathbb R, g(x)=e^xp(x)\). \(g\) n'est pas une fonction polynôme donc \(f_4\) est à valeurs dans \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), espace vectoriel des fonctions réelles.
L'application \(f_4\) est linéaire car : \(T.(p+q)=T.p+T.q\) et \(T.(\lambda p)=\lambda(T.p)\).