Endomorphismes qui commutent

Partie

Question

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et \(f\) et \(g\) des endomorphismes de \(E\) vérifiant :

\(f\circ g=g\circ f\)

Montrer que \(\textrm{Ker}(f)\) et \(\textrm{Im}(f)\) sont stables par \(g\).

Aide simple

Pour montrer que \(\textrm{Ker}(f)\) est stable par \(g\), considérer un élément \(y\) de\(g(\textrm{Ker}(f))\) , et montrer qu'il appartient à\(\textrm{Ker}(f)\) , en se servant de la définition de \(\textrm{Ker}(f)\) et de l'hypothèse \(f\circ g=g\circ f\).

Aide méthodologique

Pour montrer qu'un ensemble \(A\) est contenu dans un ensemble \(B\), on montre que tout élément de \(A\) appartient à \(B\).

Aide à la lecture

Une partie \(F\) de \(E\) est dite stable par une application \(h\) de \(E\) dans \(E\), si l'image par \(h\) de \(F\) est contenue dans \(F\). Ici, l'application \(g\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\) et l'exercice consiste à démontrer que l'image par \(g\) de \(\textrm{Ker}(f)\) est contenue dans\(\textrm{Ker}(f)\) , et de même, que l'image par \(g\) de \(\textrm{Im}(f)\) est contenue dans\(\textrm{Im}(f)\) .

Solution détaillée

On montre que \(\textrm{Ker}(f)\) est stable par \(g\), c'est-à-dire que \(g(\textrm{Ker}(f))\subset\textrm{Ker}(f)\) :

Soit \(y\) un élément de \(g(\textrm{Ker}(f))\) : il existe \(x\) un élément de\(\textrm{Ker}(f)\) , tel que \(y=g(x)\).

Comme \(x\) appartient à\(\textrm{Ker}(f)\) , \(f(x)=0\). Comme \(g\) est linéaire \(g(f(x))=0\).

Or \(f\circ g=g\circ f\), donc \(f(g(x))=g(f(x))=0\); donc \(y=g(x)\) appartient bien à\(\textrm{Ker}(f)\) .

On montre que \(\textrm{Im}(f)\) est stable par \(g\), c'est-à-dire que \(g(\textrm{Im}(f))\subset\textrm{Im}(f)\) :

Soit \(z\) un élément de\(g(\textrm{Im}(f))\) , donc il existe un élément \(y\) de \(\textrm{Im}(f)\) tel que \(z=g(y)\), et comme \(y\) est un élément de\(\textrm{Im}(f)\) , il existe un élément \(x\) de \(E\), tel que \(y=f(x)\).

D'où \(g(y)=g(f(x))\) et comme \(f\circ g=g\circ f\), on obtient \(g(y)=f(g(x))\),

donc \(z=g(y)\) appartient bien à\(\textrm{Im}(f)\).