Exercice de synthèse
Partie
Question
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb R^3\) vérifiant les deux propriétés :
le noyau de \(f\) est une droite vectorielle,
le noyau de \(f^2\) est un plan vectoriel.
Peut-on en conclure que le noyau de \(f\) est toujours inclus dans l'image de \(f\) ?
Aide simple
On peut commencer par démontrer le résultat (classique) suivant : \(\textrm{Ker}f\subset\textrm{Ker}f^2\)(en fait on peut démontrer que pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à \(1\), on a \(\textrm{Ker}f\subset\textrm{Ker}f^p\)).
Ensuite il pourra être intéressant de construire une base de \(\textrm{Ker}f^2\) en partant d'une base de \(\textrm{Ker}f\)(penser au théorème de la base incomplète).
Etudier le vecteur de cette base de \(\textrm{Ker}f^2\) qui n'appartient pas à \(\textrm{Ker}f\) (en particulier son image par \(f\)) et en déduire une propriété de la base de \(\textrm{Ker}f\) dont on est parti.
Aide méthodologique
Il est clair qu'il est nécessaire de faire une " conjecture " pour la réponse car la stratégie de démonstration ne sera pas la même si l'on veut démontrer que la réponse est oui ou que la réponse est non.
Si la réponse à démontrer est non il suffit de trouver un exemple d'une application linéaire satisfaisant aux hypothèses et telle que \(\textrm{Ker}f\) ne soit pas inclus dans \(\textrm{Im}f\).
Si la réponse est oui, il faut faire une démonstration.
On peut commencer par essayer de faire une démonstration, quitte à utiliser les blocages éventuels pour trouver un contre-exemple.
Aide à la lecture
Ce texte présente des difficultés à plusieurs titres.
D'une part il utilise un langage " géométrique " qu'il est bon de savoir manipuler. Rappelons qu'une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel de dimension \(1\) et qu'un plan vectoriel de \(\mathbb R^3\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(2\).
D'autre part la question est posée de manière interrogative et on ne connaît donc pas la réponse. De plus, le plan de l'étude n'est pas indiquée puisque il n'y a aucune question intermédiaire.
Solution détaillée
Montrons que \(\textrm{Ker}f\subset\textrm{Ker}f^2\).
Soit \(x\) un élément de \(\textrm{Ker}f\). On a \(f^2(x)=f(f(x))\).
Comme \(f(x)=0, f^2(x)=f(0)=0\) donc \(x\) est un élément du noyau de \(f^2\).
A noter que cette démonstration n'utilise que la définition du noyau et absolument pas un argument de dimension. Ce résultat est donc vrai pour un endomorphisme quelconque d'un espace vectoriel quelconque.
Soit \(\epsilon_1\) une base de \(\textrm{Ker}f\).
D'après l'inclusion que l'on vient de démontrer, \(\epsilon_1\) appartient à \(\textrm{Ker}f^2\)
et \(\{\epsilon_1\}\) est une partie libre de \(\textrm{Ker}f^2\).
On peut donc appliquer le théorème de la base incomplète et comme l'on sait que \(\textrm{Ker}f^2\) est de dimension \(2\), il existe un vecteur \(\epsilon_2\) tel que \((\epsilon_1,\epsilon_2)\) soit une base de \(\textrm{Ker}f^2\).
Le vecteur \(\epsilon_2\) est dans \(\textrm{Ker}f^2\), donc \(f^2(\epsilon_2)=0\).
Ce qui prouve que \(f(\epsilon_2)\) est dans \(\textrm{Ker}f\).
Donc \(f(\epsilon_2)\) s'écrit comme une combinaison linéaire d'une base de \(\textrm{Ker}f\) ce qui signifie ici qu'il existe un réel \(\alpha\) tel que \(f(\epsilon_2)=\alpha\epsilon_1\).
Notons immédiatement que \(\alpha\) est non nul car sinon, \(\epsilon_2\) serait dans le noyau de \(f\) et la partie \(\{\epsilon_1,\epsilon_2\}\) ne serait pas libre.
On peut donc écrire : \(\displaystyle{\epsilon_1=\frac{1}{\alpha}f(\epsilon_2)=f\left(\frac{1}{\alpha}\epsilon_2\right)}\).
Ce qui prouve que le vecteur \(\epsilon_1\) appartient à l'image de \(f\); comme c'est une base du noyau de \(f\), cela prouve l'inclusion \(\textrm{Ker}f\subset\textrm{Im}f\).
La réponse à la question posée est donc oui !
Remarque :
Il faut noter que les seules hypothèses qui ont été effectivement utilisées sont les hypothèses de dimension sur \(\textrm{Ker}f\) et \(\textrm{Ker}f^2\). Cela veut dire que l'on a, plus généralement, la propriété suivante :
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant : \(\dim\textrm{Ker}f=1\) et \(\dim\textrm{Ker}f^2=2\).
Alors \(\textrm{Ker}f\subset\textrm{Im}f\).
La démonstration est rigoureusement la même que dans l'exercice proposé.