Généralités
Définition : forme bilinéaire

Soient et deux espaces vectoriels sur ( ou ).

Une forme bilinéaire sur est une application de dans , telle que :

  • pour fixé dans , l'application est une forme linéaire sur , c'est-à-dire une application linéaire de dans .

  • pour fixé dans , l'application est une forme linéaire sur , c'est-à-dire une application linéaire de dans .

Exemple

Soit l'espace vectoriel des applications linéaires de dans (autrement dit l'espace des formes linéaires).

L'application de dans qui à associe est une forme bilinéaire.

Dans toute la suite on va supposer que .

Vocabulaire : Si , on parle de forme bilinéaire sur

Exemple
  1. Forme bilinéaire sur

    Soit . Soit un élément de et l'application de dans définie par :

    C'est une forme bilinéaire sur .

    Réciproquement toutes les formes bilinéaires sur sont de ce type. En effet, soit une forme bilinéaire sur .

    Alors, pour tout de , (linéarité par rapport à la première variable).

    Or (linéarité par rapport à la deuxième variable).

    D'où :

    En posant qui est bien un scalaire, il vient

  2. Soit et l'application de dans définie pour tout et de par

    C'est une forme bilinéaire sur (vérification immédiate).

Définition : forme bilinéaire symétrique

Soit une espace vectoriel sur .Une forme bilinéaire sur est dite symétrique si :

Exemple
  1. Forme bilinéaire symétrique sur

    D'après l'exemple précédent, toute forme bilinéaire sur est de la forme : Or il est immédiat que vérifie Donc toute forme bilinéaire sur est symétrique.

  2. Soit . L'application de dans qui à associe est une forme bilinéaire symétrique.

  3. Soit l'espace vectoriel des fonctions continues de dans L'application de dans définie par : est une forme bilinéaire symétrique sur

  4. Soit une forme bilinéaire quelconque sur Alors il est facile de vérifier que l'application de dans définie par : est une forme bilinéaire symétrique.

  5. Soit et l'application de dans définie pour tout et de par

    On a déjà vu au paragraphe précédent que c'est une forme bilinéaire sur Ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique sur En effet soit et

    Alors et

Définition : forme bilinéaire antisymétrique

Soit une espace vectoriel sur Une forme bilinéaire sur est dite antisymétrique si:

Il est facile de démontrer que cette propriété est équivalente à

Démonstration : Démonstration de l'équivalence

Il s'agit donc de démontrer que, si est une forme bilinéaire, les propriétés suivantes sont équivalentes :

.

.

 :

Soit un élément quelconque de En appliquant au couple on obtient

Comme le corps de base est ou , cela entraîne

 

Soient et deux éléments de Considérons

D'une part en utilisant la propriété on obtient

D'autre part, en utilisant l'hypothèse bilinéaire on peut développer et on obtient :

Or en utilisant il vient

Donc ces calculs conduisent à l'égalité :

D'où le résultat.

Exemple
  1. Soit L'application de dans qui à associe est une forme bilinéaire antisymétrique.

  2. Soit un espace vectoriel de dimension 2 et une base de L'application de dans définie par :

    est une forme bilinéaire antisymétrique.

  3. Reprenons l'exemple déjà étudié précèdemment.

    Soit et la forme bilinéaire sur définie pour tout et de par

    On a vu que ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique. Ce n'est pas non plus une forme bilinéaire antisymétrique sur En effet soit et Alors et

    Ce dernier exemple montre qu'il y a des formes bilinéaires qui ne sont ni symétriques ni antisymétriques. Il existe cependant un lien de structure fort entre ces différentes notions. Cela fait l'objet du paragraphe suivant.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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