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Test A
Le test comporte 3 questions :
Forme bilinéaire symétrique sur R3
Forme quadratique sur un espace de polynômes
Forme quadratique sur R3
La durée indicative du test est de 60 minutes.
Commencer
Forme bilinéaire symétrique sur R3

Soit l'application de dans définie pour tout et tout de par : .

  1. Vérifier que est une forme bilinéaire symétrique.

  2. Donner l'expression de la forme quadratique associée à par rapport à la base canonique de .

  3. Ecrire la matrice associée à dans la base canonique de .

  4. Soient les vecteurs , , .

    Vérifier que est une base de .

    Déterminer la matrice associée à dans la base .Donner l'expression de la forme quadratique associée à en fonction des coordonnées relatives à la base .

Forme quadratique sur un espace de polynômes

Soit le sous-espace vectoriel de formé du polynôme nul et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

On considère l'application de dans définie pour tout polynôme de par :

.

  1. Vérifier que est une forme quadratique sur .

  2. Déterminer sa matrice associée relativement à la base canonique de

    .

  3. On appelle la forme bilinéaire associée à . Calculer dans le cas où et .

Forme quadratique sur R3

On considère les vecteurs de , , , et .

  1. Vérifier que ces vecteurs déterminent une base de , on appelle cette base.

    Soit la forme quadratique sur telle que la matrice associée à dans la base est la matrice identité . Donner l'expression de en fonction des coordonnées de relatives à la base .

  2. Déterminer la matrice associée à la forme quadratique dans la base canonique et l'expression de en fonction des coordonnées de relatives à la base .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Forme bilinéaire symétrique sur R3
  1. [2 points] Pour vérifier que est une forme bilinéaire symétrique on utilise la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :

    Si est la base canonique de et si , alors

    ,

    et

    Il existe donc bien des scalaires , , , tels que pour tout ,et tout , avec , , et , , .

    L'application est une forme bilinéaire symétrique sur .

    On pouvait également montrer que pour un vecteur fixé dans , l'application est une application linéaire de dans .

    De plus, pour tout de , .

    Pour un vecteur fixé dans , l'application est donc elle aussi une application linéaire de dans .

  2. [2 points] Soit la forme quadratique associée à .

    Pour tout , , on a

    .

  3. [2 points] Soit la matrice associée à dans la base canonique de . C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général .

    Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de : ce sont les scalaires , , tels que pour tout et tout ,

    avec pour tout et compris entre 1 et 3.

    Donc .

  4. [4 points (1+2+1)] Pour prouver que les vecteurs , , déterminent une base de il suffit de vérifier que le déterminant de ces trois vecteurs est non nul.

    Soit la base .

    Soit la matrice de passage de à ,

    La matrice associée à dans la base est telle que .

    Soit un élément de tel que .

    Alors, si , .

    Ainsi, sur la base , la forme quadratique associée à est décomposée en carrés.

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Forme quadratique sur un espace de polynômes
  1. [5 points] Pour démontrer que est une forme quadratique, on vérifie que satisfait aux deux propriétés suivantes :

    i.

    ii. l'application définie par

    est bilinéaire symétrique.

    La première propriété est immédiate, en effet :

    Pour démontrer la deuxième propriété, on considère l'application telle que :

    D'où .

    Il est clair que est une forme bilinéaire symétrique sur , en effet , et , étant fixé, l'application de dans est linéaire.

    L'application est donc une forme quadratique sur , c'est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique . On dit aussi que est la forme polaire associée à .

  2. [5 points] On considère la base canonique de

    .

    La matrice associée à dans la base est aussi la matrice associée à dans la même base. C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 4 de terme général

    Pour effectuer ces calculs on utilise les résultats suivants :

    D'où la matrice :

  3. [5 points] On calcule dans le cas où

    et .

    Pour cela on va utiliser la matrice et les coordonnées de et relativement à la base .

    La matrice des coordonnées de est , celle de R est .

    On a alors :

    D'où

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Forme quadratique sur R3
  1. [3 points] Pour prouver que les vecteurs déterminent une base de il suffit de vérifier que le déterminant de ces trois vecteurs est non nul.

    Soit la base .

    Soit un élément de tel que . Alors, si , on a .

  2. [7 points] On appelle la matrice de passage de la base canonique à la base .

    La matrice de passage de à est l'inverse de la matrice .

    La forme quadratique sur est telle que :

    Si on appelle la matrice associée à relativement à la base canonique , on a la relation :

    Pour obtenir on calcule donc .

    Pour faire ce calcul on peut, soit utiliser la formule (où désigne la matrice des cofacteurs de ), soit résoudre le système pour donné quelconque.

    On obtient

    D'où

    Soit un élément de tel que

    Alors, si ,

    on a

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/35
Seuil critique :24
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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