Forme quadratique sur un espace de polynômes
Durée : 25 mn
Note maximale : 15
Question
Soit \(\mathcal{P}_{3}\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[X]\) formé du polynôme nul et des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
On considère l'application \(q\) de \(\mathcal{P}_{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout polynôme \(P\) de \(\mathcal{P}_{3}\) par :
\(q(P) = \int_{-1}^{1}[P(t)]^{2}dt\).
Vérifier que \(q\) est une forme quadratique sur \(\mathcal{P}_{3}\).
Déterminer sa matrice associée \(A\) relativement à la base canonique de
\(\mathcal{P}_{3}(1,X,X^{2},X^{3})\).
On appelle \(f\) la forme bilinéaire associée à \(q\). Calculer \(f(P,R)\) dans le cas où \(P(X) = 1 + 2X^{2} + X^{3}\)et \(R(X) = 1+2X+3X^{2}\).
Solution
[5 points] Pour démontrer que \(q\)est une forme quadratique, on vérifie que\(q\)satisfait aux deux propriétés suivantes :
i. \(\forall P\in\mathcal{P}_{3},\forall\lambda\in\mathbb{R},q(\lambda P) = \lambda^{2}q(P)\)
ii. l'application\(f\)définie par
\(\forall(P,R)\in\mathcal{P}_{3}\times\mathcal{P}_{3},f(P,R) = \frac{1}{2}\big[q(P+R) - q(P)-q(R)\big]\)est bilinéaire symétrique.
La première propriété est immédiate, en effet :
\(\forall P\in\mathcal{P}_{3},\forall \lambda\in\mathbb{R},q(\lambda P) = \int_{-1}^{1}[\lambda P(t)]^{2}dt = \lambda^{2}\int_{-1}^{1}[P(t)]^{2}dt = \lambda^{2}q(P)\)
Pour démontrer la deuxième propriété, on considère l'application\(f\)telle que :
\(\forall(P,R)\in\mathcal{P}_{3}\times\mathcal{P}_{3},f(P,R) = \frac{1}{2}\bigg[\int_{-1}^{1}[P(t) + R(t)]^{2}dt - \int_{-1}^{1}[P(t)]^{2}dt - \int_{-1}^{1}[P(t)]^{2}dt - \int_{-1}^{1}[R(t)]^{2}dt\bigg]\)
D'où \(f(P,R) = \int_{-1}^{1}P(t)R(t)dt\).
Il est clair que\(f\)est une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathcal{P}_{3}\), en effet \(\forall(P,R)\in\mathcal{P}_{3}\times\mathcal{P}_{3}, f(P,R)=f(R,P)\), et ,\(R\) étant fixé, l'application de \(\mathcal{P}_{3}\) dans \(\mathbb{R}\) \(P\mapsto f(P,R)\) est linéaire.
L'application\(q\)est donc une forme quadratique sur \(\mathcal{P}_{3}\), c'est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique \(f\). On dit aussi que \(f\) est la forme polaire associée à \(q\).
[5 points] On considère la base canonique de
\(\mathcal{P}_{3} : B = (1,X,X^{2},X^{3}) = (E_{1},E_{2},E_{3},E_{4})\).
La matrice \(A\) associée à \(q\) dans la base \(B\) est aussi la matrice associée à \(f\) dans la même base. C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 4 de terme général \(a_{i,j} = f(E_{i},E_{j}), 1\le i\le4,1\le j\le4.\)
Pour effectuer ces calculs on utilise les résultats suivants : \(\int_{-1}^{1}1dt = 2\)
\(\forall n\ge1\quad\int_{-1}^{1}t^{n}dt =\frac{1 - (-1)^{n+1}}{n + 1} \displaystyle{ = \left\{\begin{array}{l l} 0 &\textrm{si } n \textrm{impair} \\ \frac{2}{n + 1}& \textrm{si } n \textrm{pair} \end{array}\right. }\)
D'où la matrice\(A\) : \(\displaystyle{ A = \left(\begin{array}{c c c c} 2 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} \end{array}\right)}\)
[5 points] On calcule \(f(P,R)\) dans le cas où
\(P(X) = 1 + 2X^{2} + X^{3}\) et \(R(X) = 1 + 2X + 3X^{2}\).
Pour cela on va utiliser la matrice \(A\) et les coordonnées de \(P\) et \(R\) relativement à la base \(B = (1, X, X^{2} , X^{3})\).
La matrice des coordonnées de \(P\) est \(\displaystyle{ \left(\begin{array} {llll} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)}\), celle de R est \(\displaystyle{ \left(\begin{array} {llll} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)}\).
On a alors :
\(f(P,R) = \big(1\quad0\quad2\quad1\big) \displaystyle{ \left(\begin{array}{c c c c} 2 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} \end{array}\right)} \displaystyle{ \left(\begin{array} {llll} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)}\)
D'où \(f(P,R) = \frac{128}{15}.\)