Forme bilinéaire symétrique sur R3
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(f\) l'application de\(\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}\)dans\(\mathbb{R}\)définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\)et tout \(y = (y_{1},y_{2},y_{3})\)de\(\mathbb{R}^{3}\)par :\(f(x,y) = x_{1}y_{1} - x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}\).
Vérifier que\(f\)est une forme bilinéaire symétrique.
Donner l'expression de la forme quadratique \(q\) associée à \(f\) par rapport à la base canonique \(B\) de \(\mathbb{R}^{3}\).
Ecrire la matrice associée à\(f\) dans la base canonique \(B\)de\(\mathbb{R}^{3}\).
Soient les vecteurs \(v_{1} = (1,1,0)\), \(v_{2} = (1,0,1)\), \(v_{3} = (1,1,1)\).
Vérifier que\(B' = (v_{1},v_{2},v_{3})\) est une base de\(\mathbb{R}^{3}\).
Déterminer la matrice associée à \(f\) dans la base \(B' = (v_{1},v_{2},v_{3})\).Donner l'expression de la forme quadratique\(q\)associée à\(f\)en fonction des coordonnées relatives à la base \(B'\).
Solution
[2 points] Pour vérifier que \(f\) est une forme bilinéaire symétrique on utilise la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :
Si \(B = (e_{1},e_{2},e_{3})\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et si \(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\), \(y = (y_{1},y_{2},y_{3})\) alors
\(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}\), \(y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2}+y_{3}e_{3}\)
et \(f(x,y) = x_{1}y_{1} - x_{3}y_{2} - x_{2}y_{3}\)
Il existe donc bien des scalaires \(a_{i,j}\),\(1\le i\le3\),\(1\le j\le3\), tels que pour tout \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}\),et tout \(y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3}\),\(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le3}\\{1\le j\le3}}}a_{i,j}x_{i}y_{j}}\) avec \(a_{1,1} = 1\), \(a_{2,2} = 0\),\(a_{3,3} = 0\) et \(a_{1,2} = a_{2,1} = 0\), \(a_{1,3} = a_{3,1} = 0\), \(a_{2,3} = a_{3,2} = -1\).
L'application \(f\) est une forme bilinéaire symétrique sur\(\mathbb{R}^{3}\).
On pouvait également montrer que pour un vecteur \(y\) fixé dans \(\mathbb{R}^{3}\), l'application \(x \mapsto f(x,y)\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\).
De plus, pour tout \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^{3}\times\mathbb{R}^{3}\),\(f(x,y) = f(y,x)\).
Pour un vecteur \(x\) fixé dans \(\mathbb{R}^{3}\), l'application \(y \mapsto f(x,y)\) est donc elle aussi une application linéaire de \(\mathbb{R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\).
[2 points] Soit\(q\)la forme quadratique associée à\(f\).
Pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\),\(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}\), on a
\(q(x) = f(x,x) = (x_{1})^{2} - x_{3}x_{2} - x_{2}x_{3} = (x_{1})^{2} - 2x_{3}x_{2}\).
[2 points] Soit \(A\) la matrice associée à\(f\) dans la base canonique \(B = (e_{1},e_{2},e_{3})\)de\(\mathbb{R}^{3}\). C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général \(a_{i,j} = f(e_{i},e_{j})\).
Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de \(f(x,y)\): ce sont les scalaires \(a_{i,j}\),\(1\le i\le3\),\(1\le j\le3,\) tels que pour tout \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3},\) et tout \(y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + y_{3}e_{3}\),
\(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le3}\\{1\le j\le3}}}a_{i,j}x_{i}y_{j}}\) avec \(a_{i,j} = a_{j,i}\) pour tout \(i\) et \(j\) compris entre 1 et 3.
\(f(x,y) = x_{1}y_{1} - x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}\)
Donc \(\displaystyle{ A = \left(\begin{array}{c c c}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right)}\).
[4 points (1+2+1)] Pour prouver que les vecteurs \(v_{1}\),\(v_{2}\),\(v_{3}\) déterminent une base de \(\mathbb{R}^{3}\) il suffit de vérifier que le déterminant de ces trois vecteurs est non nul.
\(\displaystyle{ \textrm{det}_{B}(v_{1},v_{2},v_{3}) = \left|\begin{array}{c c c}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|}= -1\)
Soit \(B'\) la base \((v_{1},v_{2},v_{3})\).
Soit \(P\) la matrice de passage de \(B\) à \(B'\), \(\displaystyle{ P = \left(\begin{array}{c c c}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)}.\)
La matrice \(A'\) associée à \(f\) dans la base \(B'\) est telle que \(A' =~^{t}PAP\).
\(\displaystyle{ A' = \left(\begin{array}{c c c}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)}\)
Soit \(x\) un élément de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(x = x'_{1}v_{1} + x'_{2}v_{2} + x'_{3}v_{3}\).
Alors, si \(\displaystyle{ X' = \left(\begin{array}{ll}x'_{1} \\ x'_{2} \\ x'_{3} \end{array}\right)}\),\(q(x) = ~^{t}X'A'X' = (x'_{1})^{2} + (x'_{2})^{2} - (x'_{3})^{2}\).
Ainsi, sur la base \(B'\), la forme quadratique \(q\) associée à \(f\) est décomposée en carrés.