Forme quadratique sur R3
Partie
Question
Soit \(q\) l'application de \(\mathbf R^3\) dans \(R\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) par \(q(x)={x_1}^2+3{x_2}^2+5{x_3}^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\).
Montrer que \(q\) est une forme quadratique sur \(\mathbf R^3\).
Écrire la matrice associée à \(q\) dans la base canonique \(B\) de \(\mathbf R^3\).
Donner l'expression de la forme bilinéaire symétrique \(f\) associée à \(q\) par rapport à la base canonique \(B\) de \(\mathbf R^3\).
Soient les vecteurs \(e_1'=(1,0,0),e_2'=(2,-1,0),\) et \(e_3'=(1,-2,1)\). Montrer que \((e_1',e_2',e_3')\) est une base de \(\mathbf R^3\), appelée \(B'\). Ecrire la matrice associée à \(q\) dans la base \(B'\). Donner l'expression de la forme quadratique \(q\) par rapport à la base \(B'\).
Aide méthodologique
Utiliser la caractérisation d'une forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini.
Une application \(q\) de \(E\) dans \(K\) est une forme quadratique sur \(E\) si et seulement si, \(x\) étant un élément quelconque de \(E\), est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de \(x\) dans une base de \(E\).
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(B=(e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(q\) une forme quadratique sur \(E\). La matrice associée à \(q\) dans la base \(B\) est la matrice carrée symétrique d'ordre \(n\), de terme général \(a_{i,j}\) où les scalaires \(a_{i,j}, 1\le i\le n, 1\le j\le n,\) sont tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\)
\(\displaystyle{q(x)=\sum_{i=1}^n a_{i,j}{x_i}^2+2\sum_{1\le 1<j\le n}a_{i,j}x_ix_j}\).
La forme bilinéaire symétrique \(f\) associée à \(q\) est alors définie pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\), par :
\(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{i=1}^n a_{i,j},x_iy_i+\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}(x_iy_i+x_jy_i)}\).
Écrire la matrice de passage \(P\) de la base \(B\) à la base \(B'\) et utiliser la formule de changement de base.
Solution détaillée
1. Soit \(x=(x_1,x_2,x_3)\) un élément de \(\mathbf R^3\). Si \(B=(e_1,e_2,e_3)\) est la base canonique de \(\mathbf R^3\) alors \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\), et \(q(x)={x_1}^2+3{x_2}^2+5{x_3}^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\).
D'où \(q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de \(x\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\). C'est donc une forme quadratique sur \(\mathbf R^3\).
2. La matrice associée à la forme quadratique \(q\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général \(a_{i,j}\) où les coefficients \(a_{i,j}\) sont tels que :
\(\displaystyle{q(x)=\sum_{i=1}^3 a_{i,i}{x_i}^2+2\sum_{1\le i<j \le 3} a_{i,j}x_ix_j}\) où \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\).
\(q(x)={x_1}^2+3{x_2}^2+5{x_3}^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\)
Ci-joint une version animée de cette étape
d'où \(A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{array}\right)\).
Si, pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\), \(\displaystyle{q(x)=\sum_{i=1}^3 a_{i,i}{x_i}^2+2\sum_{1\le i<j \le 3} a_{i,j}x_ix_j}\), alors la forme bilinéaire symétrique \(f\) associée à \(q\) est définie pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) et tout \(x=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\) de \(\mathbf R^3\) par :
\(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{i=1}^3 a_{i,j},x_iy_i+\sum_{1\le i<j\le 3}a_{i,j}(x_iy_i+x_jy_i)}\)
\(q(x)={x_1}^2+3{x_2}^2+5{x_3}^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\)
Ci-joint une version animée de cette étape
d'où \(f(x,y)=x_1y_1+3x_2y_2+5x_3y_3+2(x_1y_2+x_2y_1)+3(x_1y_2+x_2y_1)+3(x_1y_3+x_3y_1)+4(x_2y_3+x_3y_2)\)
3. \(det_B(e_1',e_2',e_3')=\left|\begin{array}{rrr}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&1\end{array}\right|=-1\). Les vecteurs \(e_1',e_2',e_3'\) sont linéairement indépendants, et, comme \(\dim\mathbf R^3=3\), ils déterminent une base de \(\mathbf R^3\).
Soit \(P\) la matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\), \(P=\left(\begin{array}{rrr}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&1\end{array}\right)\).
La matrice \(A^t\) associée à \(f\) dans la base \(B^t\) est telle que \(A^t=~^tPAP\).
\(A'=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&-1&0\\1&-2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{array}\right)\).
Soit \(x\) un élément de \(\mathbf R^3\) tel que \(x=x_1'e_1'+x_2'e_2'+x_3'e_3'\). Alors \(q(x)=(x_1')^2-(x_2')^2\).