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Base orthogonale, base orthonormale

La problématique de départ est de trouver une caractérisation des bases de telles que la matrice associée à (ou à ) par rapport à l'une de ces bases soit diagonale.

Si est une telle base de . La matrice associée à (ou à ) par rapport à cette base est diagonale, c'est-à-dire de la forme :

où les sont des éléments de dont certains peuvent être nuls.

On a alors :

Cela conduit à la définition de la notion de base orthogonale.

Définition : base orthogonale, base orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique

On dit qu'une base de est orthogonale (relativement à ou à ) si ses vecteurs forment une famille orthogonale c'est-à-dire vérifient les relations :

On dit qu'une base de E est orthonormale (relativement à ou à ) si et seulement si ses vecteurs forment une famille orthonormale c'est-à-dire vérifient les relations :

Remarque
  1. Dans le cas d'une base orthogonale aucune contrainte n'est imposée aux termes .

  2. Une base orthonormale est orthogonale. La réciproque n'est pas vraie.

Complément : Conséquence : on a bien une réponse à la question posée

Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.

Une base est orthonormale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est la matrice unité.

Complément : Notation

La notion de base orthonormale ou orthogonale est relative à la forme quadratique ou bilinéaire symétrique considérée. C'est pourquoi lorsqu'il y a un risque de confusion, on utilise le vocabulaire suivant : base -orthogonale ou base -orthogonale

Exemple
  1. Soit et sa base canonique.

    Soit l'application de dans définie pour tout de par :

    .

    Alors la matrice associée à dans la base canonique est la matrice unité d'ordre 3 et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (théorème précédent) est définie pour tout élément et par :

    .

    On reconnaît le produit scalaire euclidien de la géométrie classique, la quantité étant la norme euclidienne du vecteur .

    La base canonique de est donc une base orthonormale pour . On retrouve la situation classique de la géométrie euclidienne de l'espace.

  2. Soit et sa base canonique.

    Soit l'application de dans définie pour tout de par :

    .

    Alors la matrice associée à dans la base canonique est la matrice .

    La base canonique est donc une base orthogonale pour ou est -orthogonale, mais n'est pas une base -orthonormale.

Légende :
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